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Análisis de crecimiento y concavidad usando derivadas

Clase 20 de 22 • Curso de Cálculo Diferencial

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Resumen

¿Te has preguntado cómo anticipar si una gráfica subirá, bajará o cambiará abruptamente su dirección? La clave está en comprender las derivadas de las funciones. Conocer la primera y segunda derivada te permite analizar pendientes y concavidades, facilitando así la predicción del comportamiento gráfico.

¿Cómo identificar crecimiento y decrecimiento con la primera derivada?

Al derivar una función, obtienes la pendiente de su recta tangente en cualquier punto. Este resultado revelará rápidamente:

  • Pendiente positiva: significa que la gráfica está en crecimiento (va hacia arriba).
  • Pendiente negativa: indica decrecimiento (la gráfica desciende).
  • Pendiente igual a cero: descubre puntos críticos, como máximos o mínimos.

Recuerda claramente estas condiciones para identificar fácilmente el comportamiento gráfico con la primera derivada.

¿Qué significa la concavidad y cómo utilizar la segunda derivada?

La segunda derivada indica la dirección en la que se curva una gráfica. Existen dos casos clave:

  • Resultado positivo ("gráfica feliz"): la gráfica es cóncava hacia arriba y presenta un punto mínimo.
  • Resultado negativo ("gráfica triste"): la gráfica se curva hacia abajo y posee un punto máximo.

De forma práctica, evalúa el signo del resultado tras reemplazar los puntos críticos en la segunda derivada; así conocerás exactamente su concavidad.

¿Cómo calcular puntos críticos y determinar concavidad paso a paso?

Fíjate en estos pasos detalladamente para análisis gráfico:

  1. Primera derivada: encuentra los puntos críticos al calcular y resolver:
f'(x)=0
  1. Segunda derivada: evalúa los puntos críticos obtenidos anteriormente en:
f''(x)

Ejemplo explicado en clase:

  • Función inicial: f(x)= x³ - 3x
  • Primera derivada: f'(x)=3x² - 3, igualándola a cero, obtienes puntos críticos en x=-1 y x=1.
  • Segunda derivada: f''(x)=6x
  • Evaluada en x=-1, queda negativa, indicando un máximo.
  • Evaluada en x=1, resulta positiva, señalando un mínimo.

Este método claro y sencillo te permitirá predecir completamente cualquier gráfica utilizando únicamente las derivadas.

¿Listo para convertirte en un experto en gráficas usando derivadas? Comparte tus dudas y experiencias en los comentarios.