Cálculo de máximos y mínimos con derivadas

¿Sabías que la derivada puede ayudarte a identificar los puntos más altos y más bajos en una gráfica? Así es, mediante el cálculo de puntos críticos (máximos y mínimos) con derivadas, puedes interpretar gráficas y funciones de forma efectiva y entender donde algunos valores son más relevantes.

¿Qué son los puntos máximos y mínimos?

Cuando observamos una gráfica, el punto más alto de una curva se denomina punto máximo, como la cima de una montaña. Por su parte, el punto más bajo es el punto mínimo, semejante al fondo de un valle. Estos se consideran puntos críticos por su especial relevancia en el análisis de funciones.

¿Por qué usar derivadas al buscar puntos críticos?

Pues bien, las derivadas representan la pendiente de las rectas tangentes en cada punto de una curva. Justo en los puntos máximos y mínimos, esta pendiente es cero porque la curva cambia su dirección exacta en esos puntos. Ahí exactamente es donde aplicamos la derivada para encontrar estos puntos fácilmente.

¿Cómo calculamos estos puntos críticos matemáticamente?

Imagina la función:

[y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1]

Para hallar los puntos críticos derivados igualamos la primera derivada a cero:

\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 12x + 9

Al igualarla a cero:

3x^2 - 12x + 9 = 0

Resolvemos y simplificamos la ecuación, lo que nos lleva a:

x^2 - 4x + 3 = 0

Factorizamos:

(x - 3)(x - 1) = 0

Aplicamos el teorema del factor cero y obtenemos que:

x = 3 \quad \text{o} \quad x = 1

Esto indica que los puntos críticos ocurren en x igual a 1 y a 3.

¿Cómo obtenemos la coordenada completa del punto crítico?

Para conocer la posición completa (x, y), sustituimos en la función original los valores de x que obtuvimos.

• Para x = 1:

y = (1)^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 1 = 5

Entonces, uno de los puntos críticos será (1,5).

• Para x = 3:

y = (3)^3 - 6(3)^2 + 9(3) + 1 = 1

Aquí obtenemos el otro punto crítico (3,1).

¿Cuándo un punto crítico es máximo o mínimo?

Para diferenciar los máximos de los mínimos, aplicamos la segunda derivada:

\frac{d^2y}{dx^2} = 6x - 12

Evaluando para x = 1:

6(1) - 12 = -6

Si el resultado es negativo, es un punto máximo. Por ende, (1,5) es máximo.

Evaluando para x = 3:

6(3) - 12 = 6

Un resultado positivo indica que es un mínimo, así que (3,1) es mínimo.

Con esto, ya tienes todas las herramientas para identificar puntos máximos y mínimos, usando adecuadamente la derivada en un análisis gráfico y algebraico detallado.

Si tienes tus cálculos realizados o alguna duda sobre estos ejercicios, recuerda compartir tu opinión en los comentarios.