Derivación de funciones con suma, resta, multiplicación y división

Las derivadas son esenciales en cálculo y, aunque parezcan complicadas al mezclarse con operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división, la realidad es más sencilla. Aquí te explico claramente cómo derivar funciones compuestas con facilidad, utilizando las propiedades distributivas y reglas claras.

¿Qué pasa al derivar una suma o resta de funciones?

Cuando tengas funciones sumándose o restándose, aplica la propiedad distributiva. Es sencillo: la derivada de una suma o resta es la suma o resta de cada derivada por separado. Por ejemplo:

• Derivada de ( 3x^2 + 2x - 1 ):
  • Derivas cada término individualmente: (6x + 2), ya que la derivada de una constante es cero.
• Derivada de (5x^3 + 2x^2 - 3x):
  • Resultado: (15x^2 + 4x - 3).

Recuerda siempre restar uno al exponente después de multiplicar por éste.

¿Cómo se calcula la derivada de un producto?

La derivada del producto de dos funciones tiene una fórmula simple aunque puede parecer complicada. La idea es multiplicar cruzado derivando cada término:

• Fórmula: primera función por derivada de segunda, más segunda función por derivada de primera.

Veámoslo con este ejemplo claro:

1. Deriva cada función por separado:
2. Derivada de (x^2) es (2x).
3. Derivada de (\sin(x)) es (cos(x)).
4. Combina cruzado usando la fórmula:
5. Resultado final: (x^2 \cos(x) + 2x \sin(x)).

¿Y cómo se deriva un cociente o división?

Otra derivada común es la del cociente o división de dos funciones. Toma en cuenta esta fórmula:

• Fórmula general: (función inferior por derivada de la superior menos función superior por derivada inferior) dividido por la función inferior al cuadrado.

Para simplificarlo, deriva primero cada función por separado, luego realiza el cruce:

• Ejemplo: Derivada de ( \frac{\sin(x)}{x} )
• Deriva cada una:
  • Derivada de (\sin(x)) es (\cos(x)).
  • Derivada de (x) es (1).
• Aplica la fórmula cruzada:
  • Superior: (x \cos(x) – \sin(x))
  • Inferior: (x^2)

Resultado claro y completo: ( \frac{x \cos(x) – \sin(x)}{x^2} ).

¿Para qué sirven estas reglas de derivación en el cálculo?

Estas fórmulas y métodos son clave para resolver diversos tipos de funciones algebraicas, trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. Entender cómo derivar combinaciones te prepara para manejar cómodamente situaciones más complejas en cálculo.