Derivada del Producto de Funciones: Regla y Ejemplos Prácticos

¿Cómo se aplica la regla del producto de funciones?

La regla del producto en cálculo es esencial para cualquier estudiante que busque dominar el tema de derivadas. Consiste en derivar el producto de dos funciones, y el resultado no es simplemente el producto de sus derivadas. Es importante que te sientas cómodo aplicando esta regla, ya que te encontrarás con ella frecuentemente.

¿Qué dice la regla del producto de funciones?

La regla del producto establece que si tienes dos funciones, ( f(x) ) y ( g(x) ), la derivada de su producto está dada por:

[ (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) ]

Esto significa que debes derivar la primera función y multiplicarla por la segunda sin derivar, luego sumar el producto de la primera función sin derivar por la derivada de la segunda función.

¿Cómo se aplica esta regla en un problema práctico?

Veamos un ejemplo con funciones lineales para ilustrar el procedimiento:

Imagina que tenemos:

[ f(x) = x + 3 ] [ g(x) = 2 - x ]

Aplicamos la regla del producto:

1. Deriva ( f(x) ): La derivada de ( x + 3 ) es ( 1 ), ya que la derivada de ( x ) es ( 1 ) y de una constante, ( 0 ).
2. Deja ( g(x) ) sin derivar.
3. Ahora ( f(x) ) sin derivar: ( x + 3 )
4. Deriva ( g(x) ): La derivada de ( 2 - x ) es ( -1 ).

Sustituimos en la regla del producto:

[ (x + 3)(2 - x)' = 1(2 - x) + (x + 3)(-1) ]

Resolviendo:

• ( 1 \cdot (2 - x) = 2 - x )
• ( (x + 3)(-1) = -x - 3 )

Sumamos los términos: ( 2 - x - x - 3 = -1 - 2x )

Este es el resultado de la derivada del producto de las funciones.

¿Qué alternativa existe para resolverlo?

A veces es más sencillo resolver primero la multiplicación de las funciones, para después derivar el resultado. Esto es especialmente útil si las funciones no permiten una simplificación fácil.

Multiplicamos primero ( f(x) ) y ( g(x) ):

[ (x + 3)(2 - x) = x(2 - x) + 3(2 - x) ]

Distribúyase para obtener:

[ = 2x - x^2 + 6 - 3x ] [ = -x^2 - x + 6 ]

Entonces, derívese el resultado:

1. La derivada de ( -x^2 ) es ( -2x ).
2. La derivada de ( -x ) es ( -1 ).
3. La derivada de la constante ( 6 ) es ( 0 ).

Sumamos las derivadas: ( -2x - 1 )

El resultado es el mismo que con la regla del producto.

¿Qué sucede con funciones más complejas, como una raíz de x?

Aplicar la regla del producto puede volverse un poco más complicado con funciones no lineales. Por ejemplo, si tenemos:

[ y = \sqrt{x}(x^2 - \frac{1}{x}) ]

1. Derivada de (\sqrt{x}) (que es (x^{1/2})): Tenemos ( \frac{1}{2}x^{-1/2} ).
2. La segunda función sin derivar: ( x^2 - \frac{1}{x} ).
3. (\sqrt{x}) sin derivar: (\sqrt{x}).
4. Derivada de la segunda función: (2x + \frac{1}{x^2}).

Insertamos todo:

[ \frac{1}{2}x^{-1/2}(x^2 - \frac{1}{x}) + \sqrt{x}(2x + \frac{1}{x^2}) ]

De este modo, puedes visualizar cómo la regla del producto también se aplica en funciones con radicales y fracciones.

En resumen, con la práctica, aplicar la regla del producto y resolver multiplicaciones antes de derivar puede volverte más eficiente en el cálculo. ¡Continúa practicando y profundizando en tus conocimientos!