Derivadas de Funciones Compuestas: Regla de la Cadena

Clase 24 de 25 • Curso Básico de Cálculo Diferencial

Resumen

¿En qué consiste la regla de la cadena?

En el ámbito de las matemáticas, la regla de la cadena es esencial para la diferenciación de funciones compuestas. Este concepto es crucial, pues gran parte de las funciones aplican esta regla. Básicamente, permite derivar funciones complejas al desglosarlas en funciones externas e internas. Primero, se deriva la función externa sin alterar la interna, y luego se multiplica por la derivada de la función interna. Este proceso secuencial justifica el término "cadena". Veamos cómo se aplica en diferentes contextos.

¿Cómo derivar una función compuesta con un múltiplo constante?

Para entender el procedimiento, abordemos un ejemplo. Supongamos que tenemos una función f(x) = -√(x + 2). Aquí, el múltiplo constante es -1. Se descompone la función en su parte externa, la raíz cuadrada y la interna, una función lineal. Procedemos a:

Derivar la función externa sin tocar la interna:

h(x) = √x = x^(1/2)
h'(x) = (1/2)x^(-1/2) = 1 / (2√x)

Sustituir x en la derivada de h(x) por la función interna:
```
1 / (2√(x + 2))
```
Multiplicar por la derivada de la función interna (x + 2):

La derivada es 1, lo que resulta en la función original:
```
f'(x) = -1 * 1 / (2√(x + 2))
```

¿Cómo manejar funciones con tres niveles de composición?

Un caso más complejo se presenta cuando tenemos funciones con varios niveles como h(f(g(x))). La regla de la cadena se aplica sucesivamente a cada nivel:

Derivar la función externa, sin alterar los niveles internos.
Continuar derivando cada función interna en el siguiente nivel.

Esto ilustra la versatilidad de la cadena, aplicable incluso a composiciones complejas, asegurando así la correcta diferenciación en cálculos avanzados como en ingeniería y negocios.

Ejemplo con funciones potencia

Veamos un ejemplo aplicando este conocimiento a una función con un múltiplo constante:

f(x) = (1/7) * (1 - x)^2

La función externa es la potencia, y la interna, la operación dentro del paréntesis. Derivamos:
```
h(x) = x^2
h'(x) = 2x
```

Al aplicar la regla de la cadena, sustituimos:

f'(x) = (1/7) * (2 * (1 - x)^1) * -1

Esto se traduce a:

f'(x) = - (2/7) * (1 - x)

Derivación de funciones trigonométricas

Esta técnica también se aplica a funciones trigonométricas. Por ejemplo, dada f(x) = sen(2x):

La derivada del seno es el coseno:
```
f'(x) = cos(2x) * d(2x)/dx
```
Calculamos la derivada de la interna, que es 2. Así:
```
f'(x) = 2 * cos(2x)
```

¿Qué pasa con las funciones exponenciales?

Al abordar funciones como e^(√x) / 3:

La función externa es e y la interna es √x. Aplicamos la misma técnica:
```
f'(x) = (1/3) * e^(√x) * d(√x)/dx
```
Derivamos la función de la raíz cuadrada:
```
1 / (2√x)
```
El resultado final es:
```
f'(x) = (1/6√x) * e^(√x)
```

La importancia de la práctica en la regla de la cadena

La complejidad de esta regla recalca la importancia de practicar. Varios ejercicios mezclan diversas reglas, así que paciencia y dedicación son esenciales. Siempre es útil compartir con la comunidad y ejercitar todo lo aprendido antes de buscar respuestas. Recuerda, la clave está en seguir practicando y apoyarse en la comunidad si surge alguna duda. ¡Ánimo!