Posición, velocidad y aceleración con derivadas

El cálculo diferencial es una herramienta esencial en física e ingeniería para analizar el movimiento y cambios instantáneos. Por medio del concepto de derivadas, podemos estudiar de manera precisa la posición, velocidad y aceleración de objetos en movimiento, utilizándolo como el lenguaje que conecta matemáticas con experiencias cotidianas como manejar o andar en bicicleta.

¿Qué relación tienen la posición, velocidad y aceleración con las derivadas?

Cuando analizamos el movimiento de un objeto, tenemos inicialmente la función de posición que describe su ubicación respecto al tiempo. Al derivar esta función una vez obtenemos la velocidad; si derivamos la velocidad una vez más, conseguimos la aceleración:

• Posición expresada en metros (m)
• Velocidad como primera derivada, expresada en metros por segundo (m/s)
• Aceleración como segunda derivada, expresada en metros por segundo al cuadrado (m/s²)

Este proceso es como realizar un 'zoom' para examinar cambios muy pequeños en un intervalo de tiempo extremadamente corto.

¿Cómo calcular la velocidad instantánea?

La velocidad instantánea se calcula derivando la función que representa la posición del objeto. Supón que tienes una función de posición:

[ s(t) = 3t^3 - 5t^2 + 2t ]

Para obtener la velocidad, derivamos la función una vez:

[ v(t) = 9t^2 - 10t + 2 ]

Al evaluar esta derivada en un tiempo específico, por ejemplo, a los dos segundos:

[ v(2) = 9(2)^2 - 10(2) + 2 = 18 \, \text{m/s} ]

¿Cuál es el procedimiento para determinar la aceleración?

Para hallar la aceleración, realizamos una segunda derivada sobre la función original de posición o la primera derivada sobre la función velocidad que ya encontramos previamente:

Dada la función de velocidad previa, su derivada sería:

[ a(t) = 18t - 10 ]

Evaluando esta función en el mismo instante de tiempo (t = 2 segundos):

[ a(2) = 18(2) - 10 = 26 \, \text{m/s}^2 ]

Esta aceleración indica cómo cambia la velocidad en ese instante, siendo crucial para entender si la velocidad aumenta, disminuye o permanece estable en cada momento.

¿Cómo interpretamos resultados negativos en velocidad o aceleración?

Es totalmente válido obtener valores negativos al calcular velocidad o aceleración:

• Un valor negativo de velocidad significa que el objeto se mueve en la dirección opuesta a la inicialmente considerada, es decir, retrocede.
• Un valor negativo de aceleración señala que la velocidad del objeto está disminuyendo, manifestando una desaceleración.

Asimismo, una cifra positiva en velocidad indica movimiento hacia adelante y en aceleración señala un aumento en la velocidad.

¿Qué impresión tienes al conocer cómo las derivadas explican situaciones cotidianas y físicas? Comparte tus experiencias y reflexiones en los comentarios.