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Regla de L'Hôpital para resolver límites con indeterminación 0/0

Clase 21 de 22 • Curso de Cálculo Diferencial

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Resumen

¿Has enfrentado alguna vez límites con la indeterminación cero entre cero que parecen complicados de resolver? Existe una técnica matemática llamada la regla de L'Hôpital que te permite superar estas dificultades. Aprender a aplicarla te permitirá resolver límites complejos de una forma directa y sencilla.

¿Qué es la regla de L'Hôpital?

La regla de L'Hôpital es un método matemático para resolver límites cuando se presentan indeterminaciones como cero entre cero. Funciona derivando por separado el numerador y el denominador del límite, facilitando así el cálculo del resultado.

¿En qué casos usar L'Hôpital?

Debes aplicar la regla de L'Hôpital únicamente cuando te encuentres con la indeterminación cero entre cero después de realizar una sustitución directa. Primero evalúa sustituyendo directamente el valor límite.

Si esta evaluación resulta en una indeterminación del tipo:

  • Cero sobre cero (0/0)

Entonces puedes resolver derivando numerador y denominador de tu función original de forma separada.

¿Cómo aplicar la regla de L'Hôpital paso a paso?

Para entender claramente cómo funciona, observa estos dos ejemplos prácticos con explicaciones concretas.

Ejemplo uno: Límite algebraico

Considera el siguiente límite:

[ \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} ]

Al sustituir directamente:

[ \frac{1^2 - 1}{1 - 1} = \frac{0}{0} ]

Aquí es donde entra L'Hôpital. Deriva por separado:

  • Numerador: la derivada de ( x^2 - 1 ) es ( 2x ).
  • Denominador: la derivada de ( x - 1 ) es ( 1 ).

Quedaría:

[ \lim_{x \to 1} \frac{2x}{1} ]

Evaluando nuevamente en ( x = 1 ):

[ \frac{2 \cdot 1}{1} = 2 ]

Así, el límite es 2.

Ejemplo dos: Límite trigonométrico

Observa este límite:

[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} ]

Al sustituir directamente:

[ \frac{\sin(0)}{0} = \frac{0}{0} ]

L'Hôpital nos permite derivar individualmente:

  • Numerador: la derivada de ( \sin(x) ) es ( \cos(x) ).
  • Denominador: la derivada de ( x ) es ( 1 ).

Evaluando otra vez en ( x = 0 ):

[ \frac{\cos(0)}{1} = \frac{1}{1} = 1 ]

Por lo tanto, el límite resulta ser 1.

¿Y si aparece nuevamente una indeterminación?

Si tras aplicar L'Hôpital encuentras otra vez la indeterminación cero entre cero, puedes derivar nuevamente tantas veces como sea necesario hasta obtener un resultado determinado y claro.

¿Te animas a practicar la aplicación de esta útil técnica matemática? ¡Comparte qué límites logras resolver con esta potente herramienta!