Cómo calcular la matriz inversa paso a paso

La matriz inversa es la “Messi de las matrices”: permite resolver sistemas lineales con método limpio y directo. Si AX = B, entonces X = A⁻¹B porque A⁻¹A = I (la identidad con unos en la diagonal y ceros fuera). Aquí verás, con claridad y sin rodeos, cómo calcular determinantes 1x1, 2x2 y 3x3, construir el adjunto, aplicar la traspuesta y dividir por el determinante para hallar A⁻¹.

¿Qué es la matriz inversa y para qué sirve en AX = B?

La inversa A⁻¹ se define por A⁻¹A = I. Su utilidad es inmediata: si puedes multiplicar ambos lados de AX = B por A⁻¹, obtienes X de forma directa. Dos reglas clave sobre el determinante guían todo el proceso:

• Solo existe determinante para matrices cuadradas (n×n). Por tanto, una matriz no cuadrada no tiene inversa.
• El determinante es un número, no otra matriz.

Este camino es conceptualmente simple, pero laborioso: exige atención, orden y paciencia en cada operación.

¿Cómo se calcula el determinante 1x1, 2x2 y 3x3?

Dominar el determinante es el primer paso para la inversa. Verás tres casos básicos que cubren la mayoría de ejercicios iniciales.

¿Cómo se define el determinante 1x1?

• Para una matriz 1×1, el determinante es su único número. Punto.

¿Cómo se calcula el determinante 2x2 con productos cruzados?

• Para A = [a11 a12; a21 a22], el determinante es: a11·a22 − a12·a21.
• Es la diferencia entre los productos cruzados de sus diagonales.

¿Cómo se hace el determinante 3x3 con diagonales y triángulos?

• Suma: el producto de la diagonal principal más los dos “triángulos” paralelos a ella.
• Resta: las tres contribuciones formadas a partir de la diagonal inversa.
• En el ejemplo presentado, al aplicar esta técnica, el determinante total resulta 3 tras sumar y restar todas las contribuciones.

¿Cómo obtener la inversa con el método del adjunto y la traspuesta?

La estrategia estándar se resume así: A⁻¹ = (adj(A))ᵗ / det(A). Primero construyes la matriz adjunta con cofactores, luego la traspones (intercambiar filas por columnas) y finalmente divides cada entrada por el determinante. Siempre puedes verificar multiplicando A⁻¹·A para comprobar que da la identidad.

¿Qué es el adjunto y el “menor complementario”?

• Cada elemento del adjunto es un cofactor: (−1)^(i+j) multiplicado por el determinante del menor complementario que queda al eliminar la fila i y la columna j.
• Es un procedimiento mecánico y repetitivo: quitar fila y columna, calcular el determinante resultante y aplicar el signo alternado.

¿Cómo se construye el adjunto 2x2 con cofactores?

• En el ejemplo usado, los cofactores quedan como [[-1, −2], [−3, 1]] tras corregir el orden de A[1,2] y A[2,1].
• La traspuesta de ese adjunto es [[-1, −3], [−2, 1]].

¿Cuál es la inversa del ejemplo y cómo se comprueba?

• El determinante del ejemplo 2×2 es −7. Se obtiene como a11·a22 − a12·a21: 1·(−1) − 3·2 = −1 − 6 = −7.
• Entonces: A⁻¹ = (1/−7)·[[-1, −3], [−2, 1]] = [[1/7, 3/7], [2/7, −1/7]].

• Al multiplicar A⁻¹ por A obtienes la matriz identidad, una verificación esencial para afianzar el procedimiento.

• Ideas que conviene practicar.

• Calcular determinantes 1x1, 2x2 y 3x3 con seguridad.
• Formar cofactores con (−1)^(i+j) y menores complementarios.
• Trasponer el adjunto sin errores: filas por columnas.
• Dividir por det(A) y comprobar con la identidad.
• Explorar propiedades y, si te animas, programar el cálculo de la inversa para automatizar el proceso.

¿Te quedó alguna duda o quieres compartir tu propio reto al programar la inversa? Cuéntalo en los comentarios y seguimos aprendiendo juntos.