Se podria decir que el Gateway es la ip principal del router?

Es la IP principal del segmento de red al que perteneces, ya que un router puede tener varias IP para otros segmentos de red recuerda que un router segmenta las redes y cada una de ellas tiene su propio gateway y un router las tiene configuradas todas por cada puerto físico o pueden crearse puertos virtuales para dar soporte a tecnologías VLAN

Depende de adonde estes parado.

Router significa enrutador, es decir un dispositivo que escoge entre varias rutas.

Si tu no sabes donde esta es otro computador le envias el paquete al gateway y este lo hace llegar. El gateway como un "delivery" de paquetes.

En las redes puede haber varios enrutadores (gateways), por ejemplo unos envian paquetes hacia el norte del pais, otros al sur, otros paquetes internacionales.

Si solo tienes un gateway en la red ese es el "default gateway".

Un enrutador que sirva a una empresa puede tener varias direcciones, por ejemplo hay un gateway para el piso 1, otro para el piso 2...... Pero al final el enrutador hara su mejor esfuerzo para hacer llegar tu paquete a su destino final.

El Gateway es la ip que se le asigna a la interfaz del router al que estas conectado.

Por el Gateway es por donde te comunicaras al mundo exterior.

El Gateway es la dirección IP configurada en un Router, el cual permite a los dispositivos conectados en una red LAN comunicarse con otros dispositivos de otras redes LAN, esa es su función principal aunque tiene muchas más funcionalidades. Un solo Router puede conectar varias redes LAN,

Si, es la ip del router o el dispositivo encargado de asignar las ips, puede ser un switch administrable, un router, un pfsense, etc.