Que tanto aporta el favicon a una web? Ej.: si mi logo no es adaptable a un favicon no lo uso o tendría que diseñar un favicon aparte?

Yo considero que los favicon muchas veces son la representación de los logos y creo que aporta mucho a la identidad de una pagina (imagina que tienes 10 paginas abiertas en diferentes pestañas lo que resalta son los favicons)

comparto esta herramineta que es una de las muchas que hay para generar un "fav-aicon"

http://www.chami.com/html-kit/services/favicon/

Recuerda que cada elemento cuenta cuando lo que pretendemos es hacer que la UX sea positiva y efectiva, que el usuario, como menciona @jasacristo, pueda reconocer entre muchas la pestaña de tu web le facilitará enormemente la navegación. Piensa en el ícono, que usa desde hace poco Chrome para informar que pagina es la que tiene sonido, tan sencillo y taaan usable. UX es eso. 

Al igual que quienés ya respondieron, considero al favicon una parte importante de la identidad del sitio y que incluso se puede utilizar como recurso de aviso de alguna acción al usuario(como el caso de github que se muestra en la presentación de lulo entre las diferencias de UI y UX, en una muestra de otro uso que se le puede dar).

Si un logo no es adaptable a un favicon no creo que tenga que ser un hecho, más bien creo que es un desafío al diseñador conseguir que la identidad de un logo compuesto de un texto más extenso, o elementos más complejos se logre adaptar a un icono más sencillo, y que mediante este icono se pueda seguir haciendo una relación clara a la marca. Es cosa de ver por ejemplo el favicon de google, el cual incluso lo he visto hacer un par de experimentos con el mismo en su historia :p. Pero a hecho que su logo se pueda identificar a la g de cierta tipografía y un color azulado. Ese es un ejemplo, estoy seguro que hay muchos más.

convierte tu loco en icono 
http://iconverticons.com/online/