Hay alguna manera con grid de alinear el contenido interno de los items?

Muy buen aporte que buena solución

Hola, prueba esto:

.item {
      background: lightblue;
      padding: 10px;
      border: 1px solid red;
      display: flex;
      justify-content: center;
      align-items: center;
    }

El display de .container es grid, pero el display de .item es flex, así puedes alinear el contenido cómo mencionas, si encuentras otra forma comparte… = )

Podrias tener un nuevo grid dentro de cada uno de los items