Actualmente tengo un sitio web en una compañia de hosting y me dan el certificado gratis, ¿que pasa si yo al migrar mi sitio con AWS pier...

Hola, debes comprar o adquirir otro certificado y lo configuras en aws, los certificados que regalan son certificados genéricos y no de Validación extendida (no muestran el nombre de tu sitio en la barra de navegador)

AWS cuenta con algunos certificados que puedes usar en la capa gratuita sin ningún costo, sin embargo depende de la necesidad que tengas en tu sitio, como procesar pagos o guardar datos sensibles etc. en ese caso sería mejor que compraras algún certificado que te permita garantizar un mayor nivel de seguridad en tu sitio.