Puedo instalar MYSQL en mi vps de forma manual y no pagar ello? o simepre tengo que pagar por la base de datos?

Pues yo montaria la app y mysql en contenedores docker dentro de una instancia ec2 o ligthsail asi saldria mucho mas rentable. Ademas crearia los scripts de backups automaticos de mysql a un bucket s3

Si se puede, pero como comenta Diego Forero tendrias que valorar ya que el gestionar la DB mediante RDS o lightsail tiene mayores ventajas que hacerlo desde una instancia EC2

Pensé en eso también... Porque según vi al instalar el SO con aplicaciones también podías instalar un LAMP... la gestión de backups la puedes hacer con ciertos scripts u otra herramienta... Debe existir más beneficios para usarlo de esta forma

Podrías hacerlo para ambientes de pruebas y de desarrollo.

Es completamente posible que instales mysql en tu instancia de lightsail o EC2, las ventajas que tiene el instalar usando los servicios como los de lightsail o rds es que tiene gestión de backups, puedes cambiar el tamaño de la instancia (aumentar o disminuir memoria ram por ejemplo) sin perdida de datos y con un downtime muy corto.