Por que se usa la extensión .h? ¿Es de algún lenguaje en especial?

Las extensiones .h son tanto de C como C++.

Corresponden a los header (cabecera), su contenido tiene la intención de ser compartido en otras partes del código.

por que es una libreria, es decir es un fragmento de codigo que ya esta definido y nombre.h es la sintaxis para ser invocado y poder usar sus metodos

.h es una simple extensión para identificar un tipo de archivo y significa header (cabecera).

Por otro lado un header lo que contiene es:

• Los tipos de datos (incluyendo estructuras [struct] asi como los typedef)
• Las constantes (const, en el caso de C++) y macros (#define)
• Los prototipos de las funciones
• Las definiciones de las clases
• Espacios de nombres (namespace)
• Inclusion de otros headers

Su objetivo es que el programa donde se incluya ese header conozca esa información para cuando el compilador encuentre ‘printf’ sepa que es y no de ningún error. Lo mismo con el resto de cosas.