Por que se usa la extensión .h? ¿Es de algún lenguaje en especial?

.h es una simple extensión para identificar un tipo de archivo y significa header (cabecera).

Por otro lado un header lo que contiene es:

• Los tipos de datos (incluyendo estructuras [struct] asi como los typedef)
• Las constantes (const, en el caso de C++) y macros (#define)
• Los prototipos de las funciones
• Las definiciones de las clases
• Espacios de nombres (namespace)
• Inclusion de otros headers

Su objetivo es que el programa donde se incluya ese header conozca esa información para cuando el compilador encuentre ‘printf’ sepa que es y no de ningún error. Lo mismo con el resto de cosas.

por que es una libreria, es decir es un fragmento de codigo que ya esta definido y nombre.h es la sintaxis para ser invocado y poder usar sus metodos

Las extensiones .h son tanto de C como C++.

Corresponden a los header (cabecera), su contenido tiene la intención de ser compartido en otras partes del código.