¿Existe la manera de mover archivos de directorio, o de nombre y que esto se registre como tal?, que no se tome como que el archivo fue e...

Olvidé mencionar que después de ejecutar git mv, deberás hacer un commit para registrar los cambios.

Puedes usar git mv

git mv <nombre actual del archivo> <nuevo nombre>

Al darle el nuevo nombre puedes especificar la ruta (si quieres mover el archivo)

Por ejemplo:

git mv historia.txt imagenes/hist.txt

Con lo anterior, se movera el archivo historia.txt al directorio "imagenes" y lo renombrará como hist.txt