no se supone que la integral de e^x es = e^x + c, por lo tanto la respuesta no sería xe^x+e^x+cx+c?

Tienes razón la integral de e^x=e^x + C solo que esta constante al final se cancela siempre, te lo demuestro. Si u y v son funciones y C y K son constantes.

De la formula de integración por partes tenemos:

integral(udv)=uv-integral(uv) ; si tomamos en cuenta la constante al integrar dv reemplazamos:

=u(v + C) - integral(v + C)du =uv + uC - integral(vdu) - integral(Cdu) =uv + uC - integral(vdu) - Cintegral(du) =uv + uC - integral(vdu) - C(u + K) =uv + uC - integral(vdu) - uC - KC =uv - integral(vdu) + uC - uC - KC =uv - integral(vdu) - KC

Ten en cuenta que si c es una constante y si la multiplicamos por el numero que sea (asi sea infinito) me va a dar lo mismo, una constante de la cual no se aun el valor, por esto podemos dejarlo unicamente como C. ahora, si tenemos e^x y la integramos, esto sera igual a e^x +C, siempre dara el mismo resultado, y si tenemos e^ax (donde a es cualquier numero, es que tu quieras, hasta infinito puede llegar a ser) realizamos una integral por sustitucion, entonces tomamos: u= ax Al derivarlo nos da: du=a *dx --------> du/a=dx Y ya quedo nuestra funcion casi integrada, este al reemplazarse en la funcion inicial, pues notamos que a es una constante entonces sale de la integral y nos quedo la integral de la forma e^u, entonces ya conocemos esta integral, y el resuldado seria este: 1/a *e^x +C

la constante de integración se pone al final del problema