Cómo se ocultan algunos elementos cuando quiero que en modo mobil solo aparezca ciertas cosas o iconos?

La respuesta es Media Queries :D para aprenderlo hay cursos demasiado buenos y vale la pena ver los dos de cerca.

Responsive Design - Leónidas Esteban Responsive Design - Diego de Granda

Las media queries (en español "consultas de medios") son útiles cuando deseas modificar tu página web o aplicación en función del tipo de dispositivo (como una impresora o una pantalla) o de características y parámetros específicos (como la resolución de la pantalla o el ancho del viewport del navegador).

Media Queries

@media (max-width: 600px) {
  selector-elemento/.clase./#id {
    display: none;
  }
}

Genial o sea, display : none es como no te muestres?D:

Así es Nicoll, none es como ninguno o nada. Por cierto se me olvidaba hay otras formas de ocultar elementos, si te llegas a topar con ellas debes analizar bien cuál es la diferencia entre una y otra. Por ejemplo:

visibility: hidden vs display: none