si ya tengo una aplicación realizada con php y mysql puedo integrarle polymer?

Si! Si puedes, por su puesto! No requiere mayor esfuerzo, solo tus archivos de php los tratas como si fueran html normal.

Aunque te recomiendo que uses vuejs , es una libreria que te permite usar web components de manera reactiva (que reacciona a los cambios o acciones que haga tu usuario en milisegundos).

La ventaja de que lo uses es que vuejs es muy usado con Laravel, asi que encontraras mas personas con tus mismos errores y esas cosas :P

Depende de como tengas diseñada tu aplicación, pero si, si puedes.