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Todo lo que debes saber sobre logaritmos

Los logaritmos son una forma alterna de expresar potencias y se aplican dentro de la economía, ingeniería, física e incluso biología. Entenderlos te ayudará a comprender varios fenómenos de la vida real como la oferta y la demanda o el crecimiento de una población.

Antes de continuar, no debes confundir logaritmo con algoritmo, ya que son conceptos totalmente distintos.

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El logaritmo de un número real positivo n, que tiene de base a b, es igual a x.

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Como te darás cuenta, se le está dando la vuelta a la expresión de una potencia. Considera que la base debe ser positiva y diferente de 1. Para que quede más claro, a continuación te muestro un ejemplo numérico.

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En este caso el logaritmo de 10000 de base 10 es igual a 4, porque 10 elevado a la cuarta potencia es igual a 10000.

Propiedades de los logaritmos

Para realizar operaciones exitosas con logaritmos debes conocer sus propiedades. No necesitas memorizarlas. Basta con que las comprendas.

  • El logaritmo de 1. El logaritmo de 1 es igual a 0, sin importar su base. Sabemos que todo número elevado a la 0 es igual a uno, por lo tanto, el logaritmo de 1 es igual a 0.
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  • Logaritmo de un producto. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de sus factores.
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  • Logaritmo de una división. El logaritmo de una división es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.
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  • Logaritmo de una potencia. El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base.
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Logaritmos más comunes

Si bien la base de un logaritmo debe ser un número real positivo diferente de 1, hay valores que son muy comunes y que seguramente te encontrarás con ellos en cálculos futuros. Estos logaritmos son:

  • Logaritmo decimal, cuya base es 10.

  • Logaritmo natural o neperiano, su base es la constante de Euler (2.71828).

  • Logaritmo binario, su base es 2.

Además, si revisas en tu calculadora, lo más probable es que encuentres teclas que calculen directamente estos logaritmos.

Cambio de base de un logaritmo

A veces resulta más sencillo cambiar la base de un logaritmo para calcular su valor. Además, como los logaritmos son proporcionales entre sí, el cambio de base no afecta. Por lo general se suele cambiar a una base decimal, e (constante de Euler), binaria o cualquiera que simplifique los cálculos.

Utiliza la siguiente fórmula para hacer el cambio de base:

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Recuerda que b, x y k son números reales positivos y que b y k son diferentes de 1.

Ahora te lo explico con un ejemplo numérico para que no tengas dudas. Queremos encontrar el logaritmo de 27 de base 9. Entonces procedemos así:

Elegimos base 3 porque 9 y 27 son potencias de este número.

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Luego factorizamos el 9 y 27.

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Aplicamos la propiedad de logaritmo de una potencia.

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Y finalmente simplificamos términos y tenemos la respuesta:

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Las escalas logarítmicas

Una escala logarítmica es una manera de mostrar gráficamente cantidades de datos muy grandes de una manera compacta.

Por ejemplo, un eje en escala logarítmica sería 1, 10, 100, 1000, …, (todos igualmente espaciados), en lugar de 1, 2, 3, …, (todos igualmente espaciados).

Los ejemplos más conocidos de escalas logarítmicas son:

  • La escala de Richter para la fuerza de un sismo.

  • La curva de distribución del tamaño de partículas de un suelo.

  • Logit para probabilidades en estadística.

En la siguiente imagen puedes ver la diferencia entre las escalas logarítmicas, semi-logarítmicas y lineales.

Las matemáticas son divertidas y muy útiles. Y si las aprendes de la forma correcta, te darás cuenta que están en prácticamente todo el mundo real. Y de ahí su importancia.

Algunos temas pueden ser complicados, pero la buena noticia es que, si llegaste hasta aquí, eres de esas personas que nunca paran de aprender y seguro lo lograrás. Te recomiendo continuar con tu aprendizaje con el Curso de Álgebra.

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