Optimizando nuestro primer problema

Los problemas de optimización en general requieren encontrar mínimos o máximos. Veamos esto con el siguiente problema: queremos construir una oficina con solo 50 mts de perímetro de paredes abarcando el área más grande posible (punto máximo). La oficina solo tiene 3 paredes y una vista al mar.

Resolviendo el problema

Primero debemos encontrar la función a optimizar. En este caso, queremos encontrar el área máxima. De acuerdo al dibujo de arriba, el área está dada por A = x * y, y el perímetro de las tres paredes está dado por p=2x+y=50. Teniendo estos datos, podríamos intentar resolverlo al tanteo. Sin embargo, la mejor forma de resolverlo parecido a un sistema de ecuaciones.

Si tenemos que 2x+y=50, podemos reordenar y nos queda y=50-2x. Entonces sustituímos esta expresión en la fórmula del área para que nos quede solo en función de x. Nos queda: A(x)=x(50-2x)=50x-2x*x.

Ahora toca diferenciar la función del área e igualarla a cero. Quedando así: A’(x) = -4x + 50 = 0. Resolvemos para x, y nos da un punto crítico en x=25/2. Solo nos queda determinar si este es un máximo. Para ello evaluamos en la derivada un punto a la izquierda y a la derecha de 25/2. Es decir:

A'(12)=-4*12+50=2
A'(13)=-4*13+50=-2

Como a la izquierda de x la derivada es positiva, y a la derecha es negativa, podemos decir que x=25/2 es un máximo. Solo queda sustituir en y=50-2x. Nos da que y=25. Por lo tanto, las medidas de las paredes de la oficina con la mayor área son x=(25/2)m y y=25m . El área nos da .

Conclusión

Es importante entender cómo resolver problemas de optimización para saber qué hay detrás de distintos algoritmos de machine learning como el descenso del gradiente. La ventaja que tenemos en la ciencia de datos es que dichos problemas ya están resueltos en código por otros data scientists. Sin embargo, es útil entender de donde vienen dichas soluciones.

Contribución creada con los aportes de Joan Blanco y Ciro Villafraz.