Resolver integrales de funciones compuestas con más de un exponente puede generar dudas al momento de definir la variable de sustitución. La clave está en identificar cuál exponente es mayor y asignar esa expresión como u, lo que simplifica el proceso y permite aplicar con éxito la ley de integración para potencias.
¿Cómo elegir u cuando la función tiene x² y x³?
Cuando en una integral aparecen simultáneamente x² y x³, la regla es directa: se toma como u la parte de la función cuya variable tiene el exponente mayor [0:36]. En este caso, se define:
- u = x³ + 1, porque el exponente cúbico es más alto que el cuadrado.
Este criterio no es arbitrario. Al derivar la expresión con exponente mayor, se obtiene un término que coincide con la otra parte de la función compuesta, lo que permite realizar la sustitución completa.
¿Cómo se calcula la derivada de u?
Una vez definida u, se calcula su derivada [0:55]:
Para dejar la variable x aislada, se despeja dividiendo entre 3:
Este paso es fundamental. Como recomendación, siempre hay que dejar x sola en la expresión del diferencial [3:27]. Si un coeficiente acompaña a x, se pasa al otro lado dividiendo a du, de modo que la sustitución encaje perfectamente dentro de la integral.
¿Cómo se reescribe la integral con la sustitución?
Al sustituir, la integral original se transforma [1:24]:
- x² dx se reemplaza por du/3.
- x³ + 1 se reemplaza por u.
- La raíz cuadrada se expresa como exponente fraccionario: √u = u^(1/2).
Las constantes no pueden permanecer dentro de la integral, así que el 1/3 se extrae [1:47]:
(1/3) ∫ u^(1/2) du
¿Cómo se aplica la ley de integración para potencias?
La fórmula de integración de una potencia establece que [2:01]:
∫ xᵃ dx = xᵃ⁺¹ / (a + 1)
Aplicándola al problema:
- Se suma 1 al exponente: 1/2 + 1 = 3/2.
- Se divide entre el nuevo exponente: u^(3/2) / (3/2).
El resultado parcial queda como [2:15]:
(1/3) · u^(3/2) / (3/2)
Simplificando la fracción compuesta:
- El 2 del denominador de 3/2 sube al numerador.
- El 3 de 3/2 multiplica con el 3 del coeficiente exterior.
- Resultado: (2/9) · u^(3/2).
¿Por qué es necesario regresar a la variable original?
La integral se resolvió en función de u, pero el problema original estaba planteado en función de x [2:55]. Por eso se sustituye u por su valor:
(2/9)(x³ + 1)^(3/2) + C
La constante de integración C solo se agrega al final, cuando el resultado ya está expresado en la variable original [3:12].
Tres puntos importantes para recordar:
- Siempre asignar u a la expresión con el exponente mayor.
- Despejar el diferencial para que x quede aislada.
- El método de sustitución casi siempre termina con la aplicación de la ley de integración para potencias [3:51].
Si dominas estos pasos, podrás resolver la mayoría de integrales por cambio de variable con confianza. Comparte en los comentarios qué tipo de integral te resulta más desafiante.
