Práctica: integración de una ecuación diferencial

¿Cómo se resuelve una ecuación diferencial usando el método de sustitución?

El método de sustitución es una técnica efectiva para resolver ecuaciones diferenciales, especialmente cuando lidias con una función compuesta. En este caso, iniciamos despejando el diferencial de ( x ) para reescribir la ecuación diferencial original de forma clara y manejable:

[ \frac{dy}{dx} = \frac{10x^2}{\sqrt{1 + x^3}} ]

El objetivo es despejar ( dy ) en un lado de la ecuación y dejar todo lo relacionado con ( x ), incluido el diferencial, en el otro. Posteriormente, la ecuación se reestructura para poder integrar ambos lados.

¿Cuál es el cambio de variable óptimo en este tipo de integrales?

Para elegir el cambio de variable adecuado, se recomienda tomar la expresión dentro de la raíz o con el mayor exponente como nueva variable. En el ejemplo:

[ u = 1 + x^3 ]

La derivada de ( u ) con respecto a ( x ), ( du ), es ( 3x^2 , dx ). Reescribimos la diferencial con esta nueva variable:

[ x^2 , dx = \frac{1}{3} du ]

Con este cambio, la integral se transforma y se puede simplificar para solucionarla de manera más efectiva.

¿Cómo se aplica la ley de integración de potencias?

Una vez ajustada la integral, se aplica la ley de integración de potencias. La fórmula utilizada es:

[ \int x^a , dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C ]

Esto se adapta a nuestra integral transformada de la siguiente forma:

[ \int \frac{1}{u^{1/2}} , du = 10 \int u^{-1/2} , du ]

Aplicando la regla de la potencia:

[ = 10 \cdot \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = 20u^{1/2} + C ]

¿Cómo se simplifica y se transforma de nuevo a la variable original?

Después de integrar, sustituimos de nuevo la expresión de ( u ) para regresar a la variable original ( x ):

[ y + C_1 = \frac{20}{3} \sqrt{1 + x^3} + C_2 ]

Al agrupar las constantes de integración de ambos lados en una sola constante ( C ), obtenemos la solución final en términos de ( x ):

[ y = \frac{20}{3} \sqrt{1 + x^3} + C ]

Esta técnica de integración muestra cómo, mediante un método ordenado de sustitución y aplicación de reglas de cálculo, se puede abordar y resolver de manera eficiente ecuaciones diferenciales con funciones compuestas.

Recomendaciones y consejos prácticos

• Asegúrate de revisar los pasos de diferenciación e integración con cuidado, buscando consistencia en cada cambio de variable.
• Confirmar que cada lado de la ecuación se reescriba correctamente es crucial para evitar errores en la solución final.
• Practicar diferentes tipos de integrales ayuda a reconocer patrones y seleccionar rápidamente el mejor cambio de variable.
• Recuerda que las constantes de integración son esenciales para una solución general, permitiendo ajustar la ecuación a condiciones iniciales específicas si son proporcionadas.

Estas recomendaciones y el ejemplo presentado muestran cómo este método es una herramienta poderosa para resolver integrales complejas al simplificar y transformar la ecuación de forma efectiva.