Solución de funciones compuestas con potencias

¿Qué es una función compuesta y cómo identificarla en una integral?

En la resolución de integrales, es común enfrentarse a funciones compuestas. Estas son funciones dentro de otras funciones, donde normalmente la parte interna está elevada a una potencia. Identificar correctamente estas partes internas es crucial para aplicar técnicas como la sustitución en integrales.

¿Qué debemos tomar como "u" en la función compuesta?

Para resolver una integral de una función compuesta, primero tomamos la parte interna de la función como "u". Por lo general, esta parte es la que está elevada a una potencia. En el ejemplo dado: ( 8x^2 + 1 ) es la función seleccionada como "u", ya que está elevada al cuadrado.

¿Cómo calculamos la derivada de "u"?

Después de identificar la parte interna, la derivada de "u" se debe comprobar como parte de la función que estamos integrando. En nuestro ejemplo, calculamos la derivada:

u = 8x^2 + 1
# Derivada de u
du = 16x dx

Aquí, ( du ) coincide con otra parte de la integral original, lo que confirma nuestra selección inicial de "u". Con esta comprobación, podemos proceder a reescribir la integral en términos de "u" y "du".

Paso a paso: Resolviendo la integral

¿Cómo reescribimos la integral?

Con la parte interna definida y su derivada calculada, la integral se puede reescribir en términos de "u". Esto simplifica el proceso y nos lleva a aplicar reglas de integración más sencillas.

1. Identificar y definir "u":
   • ( u = 8x^2 + 1 )
2. Calcular la derivada:
   • ( du = 16x dx )

La integral original se cambia a:

∫ u^2 du

¿Cuál regla de integración aplicamos?

Con la integral reescrita, utilizamos la regla básica de integración de potencias. Dicha regla estipula que:

[ \int x^a , dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C ]

Aplicando esta regla a nuestra integral reescrita:

• (\int u^2 , du = \frac{u^3}{3})

¿Cuándo añadimos la constante de integración?

Es una práctica común no agregar la constante de integración hasta después de revertir el cambio de variable. Es decir, una vez volvamos a expresar la función en términos de ( x ).

Finalmente, retomamos la variable original:

• ( u = 8x^2 + 1 )
• Sustituyendo obtenemos: (\frac{(8x^2 + 1)^3}{3} + C)

Recomendaciones para el aprendizaje

• Reconocimiento: Identifica rápidamente la parte interna debido a su exponente.
• Práctica constante: Memoriza y entiende las reglas de integración de potencia para aumentar la eficiencia en la resolución de estos problemas.

Continúa practicando y verás cómo se simplifica este tipo de integrales. Déjanos tus comentarios y sigue hacia la próxima lección.