Solución de Ecuaciones Diferenciales No Homogéneas: Coeficientes Indeterminados

¿Cómo solucionar una ecuación diferencial no homogénea?

¡Resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas puede parecer un reto, pero con los pasos correctos, se convierte en una tarea ordenada y metódica! Aquí te explicamos un método clave: el de coeficientes indeterminados, para abordar estas ecuaciones de forma efectiva.

¿Cuál es el punto de partida?

Para resolver una ecuación diferencial no homogénea, primero necesitas encontrar la solución general de la ecuación homogénea relacionada. Este proceso comienza hallando la ecuación característica, que es producto de transformar las derivadas:

1. Transformación de la ecuación diferencial homogénea: Cambia la segunda derivada por ( r^2 ), la primera derivada por ( r ), y reemplaza la función simple por el coeficiente presente en la ecuación.

2. Solución de la ecuación cuadrática: Una vez que tienes la ecuación característica, la puedes resolver factorizando o usando la fórmula de la ecuación cuadrática. El resultado te dará las soluciones ( r ), que son claves para el siguiente paso.

¿Cómo se encuentra la solución general?

Con los valores ( r ) obtenidos, puedes definir las soluciones de la ecuación homogénea:

• La primera solución será ( e^{(r_1)x} ), donde ( r_1 ) es la primera raíz.
• La segunda solución será ( e^{(r_2)x} ), donde ( r_2 ) es la segunda raíz.

La solución general es una combinación lineal de estas soluciones:

[ y_g = C_1 \cdot e^{(r_1)x} + C_2 \cdot e^{(r_2)x} ]

¿Qué sigue después de encontrar la solución general?

Ahora que tienes la solución general de la ecuación homogénea, el siguiente paso es encontrar la solución particular de la ecuación no homogénea.

1. Identifica la función del lado derecho: Observa la función al lado derecho de la ecuación no homogénea. Por ejemplo, en la función dada ( 3x ), esto indica que la función es un polinomio de grado 1.

2. Asume una forma para la solución particular: Con base en la función observada, asume que la solución particular ( y_p ) también es un polinomio de grado 1, es decir, ( ax + b).

¿Cómo se determinan los coeficientes indeterminados?

Este es un paso crucial para resolver la ecuación:

1. Calcula las derivadas necesarias: Encuentra la primera y segunda derivada de la solución particular asumida:

   • La primera derivada de ( ax + b ) es ( a ).
   • La segunda derivada es ( 0 ).

2. Sustituye estas derivadas en la ecuación original no homogénea:

   • Sustituye las derivadas en la ecuación donde:

   [ 0 + 3(a) + 2(ax + b) = 3x ]

3. Agrupa términos y resuelve:

   • Desarrolla las operaciones y agrupa términos similares:

   [ 3a + 2ax + 2b = 3x ]

4. Solución del sistema de ecuaciones:

   • Alinear términos con ( x ) y los términos constantes al mismo lado de la ecuación para establecer:

   [ 2a = 3, \quad \text{y} \quad 3a + 2b = 0 ]

   • Resuelve para ( a ) y ( b ):

   [ a = \frac{3}{2}, \quad b = -\frac{9}{4} ]

¿Es esta la solución final?

Finalmente, la solución completa de la ecuación diferencial no homogénea combina la solución general de la ecuación homogénea relacionada con la solución particular hallada:

[ y = y_g + y_p = C_1 \cdot e^{(-2)x} + C_2 \cdot e^{-x} + \frac{3}{2}x - \frac{9}{4} ]

Este enfoque sistemático de coeficientes indeterminados brinda un método claro y eficaz para tratar con polinomios en ecuaciones diferenciales. Recuerda que este método también es aplicable para funciones que implican términos como senos, cosenos o exponenciales. ¡Sigue practicando y verás lo sencillo que se torna resolver cualquier ecuación no homogénea!