Ecuaciones Diferenciales Homogéneas de Segundo Orden

¿Cómo identificar una ecuación diferencial homogénea de segundo orden?

Al tratar con ecuaciones diferenciales, es crucial identificar el tipo de ecuación con la que estamos trabajando. Una ecuación diferencial de segundo orden se reconoce por la presencia de la segunda derivada de la función desconocida, en este caso simbolizada como ( y'' ). En una ecuación diferencial homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, estos coeficientes no dependen de la variable ( x ), y la ecuación es igual a cero. El enfoque principal de esta clase es aprender a resolver estas ecuaciones para avanzar en el estudio de las ecuaciones diferenciales más complejas.

¿Cuál es la ecuación característica y cómo se deriva?

Resolver una ecuación diferencial de segundo orden homogénea implica encontrar su solución general y para ello, se emplea la ecuación característica. Esta se deduce suponiendo una solución de la forma ( y = e^{rx} ), donde ( r ) es el valor que buscamos.

Para derivar la ecuación característica:

1. Hallamos la primera y segunda derivada de nuestra solución asumida:

   • La primera derivada: ( y' = re^{rx} )
   • La segunda derivada: ( y'' = r^2 e^{rx} )

2. Sustituimos estas derivadas en la ecuación diferencial original:

   • ( r^2 e^{rx} + 2r e^{rx} - e^{rx} = 0 )

3. Factorizamos el término común ( e^{rx} ):

   • ( e^{rx} (r^2 + 2r - 1) = 0 )

4. Como ( e^{rx} ) nunca es cero, la ecuación característica es:

   • ( r^2 + 2r - 1 = 0 )

¿Cómo resolver la ecuación cuadrática para encontrar ( r )?

La ecuación característica derivada es una ecuación cuadrática estándar que podemos resolver utilizando la fórmula cuadrática:

[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

En nuestro caso, con:

• ( a = 1 ),
• ( b = 2 ),
• ( c = -1 ),

La aplicación de la fórmula nos lleva a:

[ r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} ]

Se simplifica a:

[ r = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2} ]

Así, las soluciones para ( r ) son ( r_1 = -1 + \sqrt{2} ) y ( r_2 = -1 - \sqrt{2} ).

¿Qué son las soluciones linealmente independientes y la solución general?

Para una ecuación diferencial de segundo orden, como esta, se obtienen dos soluciones linealmente independientes. Con nuestros valores de ( r ):

• Solución 1: ( y_1 = e^{(-1 + \sqrt{2})x} )
• Solución 2: ( y_2 = e^{(-1 - \sqrt{2})x} )

La solución general es una combinación lineal de estas dos soluciones:

[ y = c_1 e^{(-1 + \sqrt{2})x} + c_2 e^{(-1 - \sqrt{2})x} ]

Donde ( c_1 ) y ( c_2 ) son constantes arbitrarias, que se determinarán con condiciones iniciales específicas para problemas particulares. Esta solución general aplica a todas las ecuaciones diferenciales de segundo orden homogéneas con coeficientes constantes y proporciona la base para métodos más complejos en el estudio de ecuaciones diferenciales.