Cálculo de Temperatura Inicial usando Ley de Enfriamiento de Newton

¿Cómo se aplican las ecuaciones diferenciales a la ley de enfriamiento de Newton?

Las ecuaciones diferenciales son fundamentales para entender fenómenos que involucran transferencia de calor, tales como el cambio de temperatura en objetos. Un modelo clásico para estos problemas es la ley de enfriamiento de Newton. Este modelo permite predecir cómo cambia la temperatura de un objeto a lo largo del tiempo cuando es sometido a un ambiente con temperatura constante.

¿Cuáles son las variables clave en el modelo de enfriamiento?

Al analizar este modelo, lo primero es identificar las variables clave:

• Temperatura ambiente del refrigerador: En el ejemplo, la temperatura del refrigerador es 2°C.
• Temperatura de la cerveza en diferentes momentos: A los 20 minutos es 8°C, y a los 40 minutos es 5°C.
• Tiempo (T): Se mide en minutos.
• Temperatura inicial de la cerveza (T₀): Es la variable que queremos encontrar.

¿Cuál es la ecuación de la ley de enfriamiento de Newton?

La ley de enfriamiento de Newton se puede expresar mediante la siguiente ecuación diferencial:

T = Tm + (T₀ - Tm) * e^(k * t)

Donde:

• T es la temperatura del objeto en el tiempo t.
• Tm es la temperatura ambiente (en este caso, 2°C).
• T₀ es la temperatura inicial del objeto (cerveza).
• k es la constante de enfriamiento.
• t es el tiempo transcurrido.

¿Cómo se encuentra la constante de enfriamiento (k)?

Para determinar la constante de enfriamiento, se consideran las observaciones de temperatura a lo largo del tiempo. Utilizando la información proporcionada:

1. A los 20 minutos, la cerveza está a 8°C.
2. A los 40 minutos, la temperatura desciende a 5°C.

Se usa este par de datos para resolver la ecuación de la ley de enfriamiento y encontrar la constante k:

3 = e^(k * 20) * 6

Despejar k usando logaritmos naturales:

ln(3/6) = k * 20
k ≈ -0.0346

La constante k es negativa porque representa un proceso de enfriamiento.

¿Cómo se determina la temperatura inicial de la cerveza?

Una vez calculada la constante de enfriamiento, podemos encontrar T₀, la temperatura inicial de la cerveza, utilizando cualquier de los pares de datos:

• Usando los 20 minutos (8°C):

  8 = 2 + (T₀ - 2) * e^(-0.0346 * 20)
  

• Despejar T₀ de la ecuación:

  6 = (T₀ - 2) * 0.5005
  T₀ = (6 / 0.5005) + 2 ≈ 13.98°C
  

La temperatura inicial de la cerveza fue aproximadamente 13.98°C.

Estas soluciones muestran cómo la aplicación cuidadosa de las ecuaciones diferenciales y un análisis detallado de observaciones pueden resolver problemas complejos de transferencia de calor. ¡Sigue aprendiendo y explorando estos fascinantes modelos matemáticos!