Introducción al Curso
Transformada Inversa de Laplace: Ejemplo Práctico
Clase 49 de 50 • Curso de Ecuaciones Diferenciales
Contenido del curso
Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
- 6
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden: Método de Separación de Variables
06:57 - 7
Resolución de Ecuaciones Diferenciales Separable por Variables
07:16 - 8
Comprobación de Ecuaciones Diferenciales Separables
07:15 - 9
Método de Sustitución Lineal en Ecuaciones Diferenciales
07:19 - 10
Método de Sustitución Lineal en Ecuaciones Diferenciales
07:28 - 11
Ecuaciones Diferenciales Exactas: Condiciones y Solución Paso a Paso
08:24 - 12
Ecuaciones Diferenciales Exactas: Solución Paso a Paso
09:57 - 13
Funciones Homogéneas y Métodos de Verificación
06:14 - 14
Resolución de Ecuaciones Diferenciales Homogéneas
09:34 - 15
Resolución de Ecuaciones Diferenciales con Coeficientes Lineales
03:02 - 16
Resolución de Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden
18:22 - 17
Solución de Ecuaciones Diferenciales Separable paso a paso
10:20 - 18
Factor Integrante para Ecuaciones Diferenciales Exactas
04:50 - 19
Factor Integrante en Ecuaciones Diferenciales Exactas
14:36 - 20
Resolución de Ecuaciones Diferenciales con Factor Integrante Caso 2
16:34 - 21
Resolución de Ecuaciones Diferenciales con Factor Integrante
16:30 - 22
Identificación y Solución de Ecuaciones Diferenciales Lineales
06:45 - 23
Solución de Ecuaciones Diferenciales Lineales con Factor Integrante
07:28 - 24
Métodos de Solución de Ecuaciones Diferenciales
00:19
Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden
- 25
Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden: Soluciones Independientes
08:19 - 26
Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas con Coeficientes Constantes
06:23 - 27
Ecuaciones Diferenciales Homogéneas de Segundo Orden
11:02 - 28
Ecuaciones Diferenciales: Soluciones con Raíces Complejas
06:53 - 29
Solución de Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden con Raíces Complejas
07:33 - 30
Método de Coeficientes Indeterminados en Ecuaciones Diferenciales
04:44 - 31
Solución de Ecuaciones Diferenciales No Homogéneas: Coeficientes Indeterminados
09:19 - 32
Método de Coeficientes Indeterminados en Ecuaciones Diferenciales
16:27 - 33
Método de Variación de Parámetros para Ecuaciones Diferenciales
08:20 - 34
Métodos para Resolver Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden
13:16 - 35
Resolución de ecuaciones con coeficientes indeterminados
00:12
Modelos matemáticos
- 36
Modelos Matemáticos con Ecuaciones Diferenciales
11:44 - 37
Modelos Matemáticos de Crecimiento Poblacional
10:06 - 38
Ecuaciones Diferenciales: Modelos de Crecimiento Poblacional
09:20 - 39
Modelos de Crecimiento Poblacional en Blockchain con Ecuaciones Diferenciales
09:45 - 40
Ley de Enfriamiento de Newton: Modelado y Solución de Ecuaciones Diferenciales
07:08 - 41
Cálculo de Temperatura Inicial usando Ley de Enfriamiento de Newton
10:08 - 42
Modelado de Propagación Viral con Ecuaciones Diferenciales
12:41 - 43
Cálculo de Interés Compuesto Continuo y Crecimiento Exponencial
01:29
Transformada de laplace
- 44
Integrales Parciales Definidas e Impropias: Fundamentos Esenciales
08:09 - 45
Transformada de Laplace: Concepto y Cálculo Básico
09:46 - 46
Transformada de Laplace de Funciones Exponenciales
05:51 - 47
Propiedades de la Transformada de Laplace
11:19 - 48
Transformada Inversa de Laplace: Propiedades y Uso de Tablas
04:57 - 49
Transformada Inversa de Laplace: Ejemplo Práctico
07:22 - 50
Transformada de Laplace: Cálculo y Ejercicios Prácticos
00:32
Resumen
¿Cómo aplicar la transformada inversa de Laplace?
El proceso de calcular la transformada inversa de Laplace se vuelve más sencillo gracias al uso de tablas y propiedades específicas. Este método te ayuda a encontrar la función original a partir de su transformada de Laplace. Tomemos como ejemplo una función ( G(s) ). Esta función es resultado de una transformación de Laplace aplicada a otra función ( g(t) ). El objetivo, entonces, es descubrir ( g(t) ), la función original que generó ( G(s) ).
¿Qué pasos seguir para aplicar la transformada inversa?
-
Identificar la estructura de ( G(s) ): Cuando ( G(s) ) está compuesta por sumas y restas, se puede descomponer en términos más simples.
-
Separar en términos individuales: La transformada inversa se puede aplicar a cada término. Usando la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace, se puede escribir: [ \text{Transformada inversa de } G(s) = \text{Transformada inversa de } \left(\frac{2}{s} e^{-2s}\right) - \text{Transformada inversa de } \left(\frac{2}{s} e^{-3s}\right) ]
-
Aplicar las propiedades: Se extraen las constantes para simplificar el cálculo: [ \text{Transformada inversa de } \left(\frac{2}{s} e^{-2s}\right) - 2 \cdot \text{Transformada inversa de } \left(\frac{e^{-3s}}{s}\right) ]
¿Cuál es el rol de la tabla de transformadas?
En este proceso, contar con una tabla de transformadas de Laplace es fundamental. Se debe buscar en la tabla una función que se parezca a la obtenida tras la descomposición. En este caso:
- (\frac{e^{-As}}{s}) se asocia a una función escalón unitario desplazada.
¿Cómo expresamos el resultado?
Al reemplazar en la tabla las partes coincidentes, encontramos:
- La transformada inversa es igual a dos veces la función escalón unitario ( u(t) ) desplazada en ( t-A ).
- Para el ejemplo dado, el resultado es: [ 2 \cdot u(t-2) - 2 \cdot u(t-3) ] Donde ( A ) es el término que acompaña a la ( S ) en la exponencial.
¿Por qué es útil la transformada inversa de Laplace?
La transformada inversa de Laplace es una herramienta poderosa en las matemáticas aplicadas y la ingeniería. Permite transformar funciones complicadas en más manejables y analizarlas de manera más efectiva. Además, es crucial para resolver ecuaciones diferenciales en varios campos, ya que ayuda a simplificar y modelar sistemas complejos.
Este enfoque metodológico dota a los estudiantes y profesionales de un medio práctico e intuitivo para gestionar una gran variedad de problemas diferenciales, guiados siempre por la simplificación y el entendimiento profundo de las funciones involucradas.