Transformada de Laplace de Funciones Exponenciales

¿Cómo se obtiene la transformada de Laplace de una exponencial?

La transformada de Laplace es una herramienta mágica en el campo de las matemáticas aplicadas, fundamental para ingenieros y físicos. En este enfoque, se convierte una función en el dominio del tiempo a una nueva función en el dominio de una variable s. Exploramos aquí específicamente cómo se obtiene para una función exponencial.

La transformada de Laplace se define a través de una integral impropia, desde cero hasta infinito, de la función que deseamos transformar, multiplicada por una exponencial decreciente. Consideremos una función exponencial de la forma ( e^{at} ). La tarea es sustituir esto en la ecuación de transformada de Laplace:

[ \mathcal{L}{e^{at}} = \int_0^{\infty} e^{at} e^{-st} dt ]

Aplicando la propiedad de los exponentes, unificamos la base para obtener:

[ \int_0^{\infty} e^{(a-s)t} dt ]

¿Cómo se resuelve esta integral?

Afortunadamente, existe un método sencillo para resolver integrales exponenciales de este tipo. La fórmula nos dice que:

[ \int e^{kt} dt = \frac{1}{k} e^{kt} ]

Aplicando esto aquí, con ( k = a-s ):

[ \frac{1}{a-s} e^{(a-s)t} \Bigg|_0^{\infty} ]

Al evaluar los límites, es crucial recordar que simplemente sustituir por infinito es incorrecto. Lo que hacemos es evaluar el límite cuando ( t ) tiende a infinito.

• Límite Superior: Si ( a-s < 0 ), el término desaparece cuando ( t ) tiende a infinito.
• Límite Inferior: Evaluamos en ( t = 0 ), resultando en ( e^0 = 1 ).

Así, la respuesta es:

[ \mathcal{L}{e^{at}} = \frac{1}{s-a} ]

¿Es necesario calcular esta integral para cada función?

La buena noticia es que no. Aunque es fundamental entender este proceso para comprender el funcionamiento interno de la transformada de Laplace, para la práctica diaria, disponemos de tablas predefinidas. Estas tablas resumen las diferentes transformadas de funciones comunes, como polinomios, sinusoides, y, por supuesto, exponenciales.

Estas tablas son como un atajo en el complejo mundo de las matemáticas de transformadas. Simplemente, identificamos qué forma se ajusta a nuestra función, y usamos las propiedades de la transformada (que exploraremos a fondo en próximas clases) para generalizar y adaptar.

¿Qué más podemos esperar de la transformada de Laplace?

En las próximas clases, abordaremos sus propiedades, como la linealidad y el desplazamiento, que simplifican aún más el cálculo de transformadas y facilitan la resolución de ecuaciones diferenciales.

Conocer estas herramientas nos permite abordar problemas complejos con facilidad y precisión. Prepárate para sacar el máximo provecho de esta poderosa técnica matemática. ¡No te desanimes y sigue explorando!