Propiedades de la Transformada de Laplace

¿Qué es la transformada de Laplace?

La transformada de Laplace es una herramienta matemática invaluable para convertir funciones dependientes del tiempo en funciones de una nueva variable, generalmente denotada como ( S ). Este método es especialmente útil en la resolución de ecuaciones diferenciales, simplificando el análisis de sistemas en ingeniería y física. A través de diversas propiedades, logramos facilitar aún más el trabajo con la transformada de Laplace y su aplicación en sistemas complejos.

¿Cuáles son las propiedades de la transformada de Laplace?

A lo largo de esta discusión, exploraremos cuatro propiedades clave de la transformada de Laplace que nos permitirán abordar problemas de manera más eficiente y con menor esfuerzo.

¿Qué es la propiedad del producto por una constante?

Esta propiedad es sencilla pero poderosa. Si deseamos hallar la transformada de Laplace de una función multiplicada por una constante, la constante puede ser separada del cálculo:

Ejemplo: para encontrar la transformada de Laplace de ( 7 \cdot \sin(8t) ), identificamos que ( 7 ) es la constante. Según la propiedad, solo necesitamos obtener la transformada de ( \sin(8t) ) y luego multiplicar el resultado por 7.

La transformada de: [ \sin(kt) ] es: [ \frac{k}{s^2 + k^2} ]

Por tanto, para ( \sin(8t) ): [ \frac{8}{s^2 + 64} ]

Multiplicamos por 7, obteniendo: [ \frac{56}{s^2 + 64} ]

¿Qué establece la propiedad de linealidad?

La propiedad de linealidad nos permite descomponer la transformada de una suma de funciones en sumas de las transformadas individuales, simplificando así el proceso de cálculo:

Ejemplo: Para ( 3t^2 - 9t ), separamos:

1. ( 3 \cdot \text{Transformada de } t^2 )
2. ( -9 \cdot \text{Transformada de } t )

Utilizando la tabla de transformadas:

• Para ( t^n ), la transformada es: [ \frac{n!}{s^{n+1}} ]

Para ( t^2 ): [ \frac{2!}{s^3} = \frac{2}{s^3} ] Multiplicada por 3, resulta: [ \frac{6}{s^3} ]

Para ( t ): [ \frac{1!}{s^2} = \frac{1}{s^2} ] Multiplicada por 9, da: [ \frac{9}{s^2} ]

Entonces, la transformada de ( 3t^2 - 9t ): [ \frac{6}{s^3} - \frac{9}{s^2} ]

¿En qué consiste la propiedad de traslación?

Cuando incluimos un término exponencial, como ( e^{at} ), en el producto con una función, la propiedad de traslación nos permite ajustar la variable ( s ) a ( s-a ).

Ejemplo: Para ( e^{2t} \cdot \sin(3t) ):

1. La transformada de (\sin(3t)) es: [ \frac{3}{s^2 + 9} ]

Con la propiedad, reemplazamos ( s ) por ( s-2 ): [ \frac{3}{(s-2)^2 + 9} ]

¿Qué nos dice la propiedad de la derivada?

La propiedad de la derivada se aplica a funciones multiplicadas por ( t^n ). Permite expresar la transformada en términos de las derivadas de la función.

Ejemplo: Para ( t \cdot \cos(5t) ):

1. La transformada de ( \cos(5t) ): [ \frac{s}{s^2 + 25} ]

Se deriva según: [ \text{Transformada de } t^n \text{ se expresa como } (-1)^n \cdot f^{(n)}(s) ]

Para ( t ), derivada: [ -\left(\frac{d}{ds}\left(\frac{s}{s^2 + 25}\right)\right) ]

Esta operación se resume usando regla del cociente: [ \frac{(s^2 + 25) \cdot 1 - 2s \cdot s}{(s^2 + 25)^2} ]

Resulta en: [ \frac{s^2 + 25 - 2s^2}{(s^2 + 25)^2} = \frac{25 - s^2}{(s^2 + 25)^2} ]

Este manejo de las propiedades y el uso estratégico de la tabla transformada de Laplace son fundamentales para resolver ecuaciones diferenciales con rapidez y precisión. No te detengas aquí, la práctica te hará más hábil en su aplicación. A medida que avanzas, encontrarás que resolver transformadas de este estilo será cada vez más intuitivo. La próxima vez, profundizaremos en la transformada inversa de Laplace y sus propiedades. ¡Sigue aprendiendo y dominando estas técnicas!