Base canónica i, j, k: vectores 3D con regla mano derecha

Domina el espacio tridimensional con confianza: aquí entenderás cómo fijar un sistema de referencia, usar la base canónica i, j, k y aplicar producto escalar y producto vectorial para resolver problemas reales de física y dinámica. Todo se generaliza del plano al 3D sin complicaciones: suma de componentes, módulos y ángulos bien definidos.

¿Cómo se construye el sistema de referencia 3d con la base canónica i, j, k?

Para describir fuerzas y movimientos en 3D se necesita un sistema de referencia con tres ejes perpendiculares: X, Y y Z, y su origen. Cualquier punto o vector se expresa con tres coordenadas y se apoya en la base canónica.

• Un punto en el espacio se representa con tres números: (x, y, z).
• Un vector V se escribe como (V1, V2, V3).
• Base canónica: i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1).
• Son vectores unitarios: módulo uno y dirección alineada a cada eje.
• Expresión de un vector: V = V1 i + V2 j + V3 k.
• Módulo de V: raíz cuadrada de (V1^2 + V2^2 + V3^2).
• Suma de vectores: componente a componente.

¿Cómo se calcula el módulo, la suma y el producto escalar en 3d?

El producto escalar generaliza el del plano: su resultado es un número. Permite calcular ángulos y proyectar un vector sobre otro, clave en trabajo mecánico y otras magnitudes físicas.

• Definición: U · V = U1 V1 + U2 V2 + U3 V3. Es un número.
• Relación con el ángulo: U · V = |U| |V| cos(α). Útil para hallar α.
• Interpretación geométrica: proyección de U sobre la dirección de V.
• Aplicación física frecuente: trabajo = fuerza · desplazamiento.

¿Qué es el producto vectorial y cómo aplicarlo con la regla de la mano derecha?

El producto vectorial entre U y V da un nuevo vector W. Es esencial en física e ingeniería para direcciones perpendiculares y magnitudes como fuerzas en campos magnéticos y momento angular.

¿Cómo se define el producto vectorial con módulos y ángulos?

• Resultado: W es un vector.
• Módulo: |W| = |U| |V| sin(α).
• Dirección: perpendicular al plano que forman U y V.
• Sentido: regla de la mano derecha; el pulgar marca el sentido de W.

¿Cómo se calcula con determinante i, j, k?

• Escribe la matriz con la fila i, j, k; debajo U1, U2, U3; y V1, V2, V3.
• Calcula el determinante para obtener las componentes de W.
• Ejemplo práctico: si U = (1, 2, 0) y V = (-1, 0, 3), entonces U × V = [6, -3, 2].

¿Qué propiedades y ejercicios clave debes resolver con i, j, k?

• Anticonmutatividad: U × V = −(V × U).
• Paralelismo: si U y V son paralelos, U × V = 0. En cambio, si son perpendiculares, U · V = 0.
• Base canónica, producto escalar: i · i = 1, j · j = 1, k · k = 1. i · j = 0, i · k = 0, j · k = 0.
• Base canónica, producto vectorial: i × j = k, j × k = i, k × i = j, i × i = 0, j × j = 0, k × k = 0, i × k = −j, j × i = −k, k × j = −i.
• Aplicaciones clave: fuerza magnética de una partícula cargada en un campo magnético (F = v × B). También el momento angular.

¿Te quedó alguna duda o quieres proponer un ejercicio con i, j, k o con right-hand rule? Escribe tu pregunta y lo resolvemos juntos.