Geometría analítica: vectores y producto escalar

Comprende los fundamentos de la geometría analítica aplicada al movimiento: del plano cartesiano a los vectores, su suma, el producto escalar y las bases ortonormales. Con ejemplos numéricos claros y lenguaje directo, verás cómo el módulo, la dirección y el sentido permiten modelar fuerzas, trayectorias y colisiones en 2D.

¿Qué es la geometría analítica y por qué importa?

La geometría analítica estudia espacio, movimiento, formas y estructura desde coordenadas. Aunque vivimos en 3D, trabajamos en el plano cartesiano para simplificar: dos ejes perpendiculares, X e Y, que se cruzan en el origen.

• Plano cartesiano: ejes X e Y perpendiculares. Origen como referencia.
• Punto: pareja (a, b) que fija posición. Idealización de dimensión cero.
• Vector: pareja (u1, u2) que define direccionalidad con tres rasgos: módulo, dirección y sentido.
• Módulo: longitud del vector. Se calcula con teorema de Pitágoras.
• Dirección: recta infinita que contiene al vector.
• Sentido: punta de flecha que indica hacia dónde apunta.

¿Cómo se construye un vector con dos puntos?

Con dos puntos P(a1, b1) y Q(a2, b2): el vector U = (a2 − a1, b2 − b1) une P con Q. El vector V = (a1 − a2, b1 − b2) tiene mismo módulo y dirección, pero sentido contrario.

¿Qué operaciones con vectores debes dominar?

Estas operaciones permiten descomponer y recomponer movimientos de forma precisa.

• Suma de vectores: W = (u1 + v1, u2 + v2). Ejemplo: U = (1, 3), V = (2, 0) ⇒ U + V = (3, 3). Interpretación geométrica: colocar la cola del segundo en la cabeza del primero.
• Producto escalar: número u1·v1 + u2·v2. Ejemplo: U = (−1, 3), V = (1, 2) ⇒ (−1)·1 + 3·2 = 5.
• Ángulo entre vectores: u·v = |u||v| cos α, así que cos α = (u·v)/( |u||v| ). Con U = (−1, 3) y V = (1, 2): |U| = √10, |V| = √5, luego cos α = 5/√50.
• Interpretación geométrica: u·v equivale a la proyección de U sobre V multiplicada por el módulo de V.
• Propiedades a demostrar: conmutativa, distributiva respecto a la suma y asociativa según el uso descrito.

¿Cómo identificar paralelismo, perpendicularidad y bases ortonormales?

El producto escalar facilita detectar relaciones entre vectores y construir sistemas de referencia útiles.

• Vectores perpendiculares: u·v = 0. Construcción rápida de un perpendicular a U = (u1, u2): V = (−u2, u1).
• Vectores paralelos: v = k·u. Si son coincidentes, cos α = 1. Ejemplo: si U = (u1, u2), con k = 2 se obtiene V = (2u1, 2u2).
• Bases ortonormales: conjuntos de vectores unitarios y perpendiculares entre sí. Cumplen |ei| = 1 y ei·ej = 0 para i ≠ j.
• Base canónica: U1 = (1, 0), U2 = (0, 1). Son unitarios y U1·U2 = 0. Cualquier vector se expresa como combinación: para V = (−1, 2), V = −U1 + 2 U2.

¿Te gustaría que resolvamos más ejemplos de suma, producto escalar o construcción de vectores perpendiculares y paralelos? Deja tu duda o caso práctico y lo comentamos juntos.