Integral definida: cómo calcular áreas bajo curvas

Aprende a dominar la integral definida con confianza: desde su relación con la derivada hasta su interpretación geométrica como área bajo la curva. Conecta las matemáticas con aplicaciones reales en física e ingeniería, como el cálculo de campos sobre una esfera usando elementos infinitesimales y sumas sobre superficies.

¿Qué es una integral definida y por qué importa en física e ingeniería?

La integral definida permite calcular áreas bajo una curva entre dos puntos y, por extensión, sumar contribuciones pequeñas a lo largo de una región. Es clave cuando necesitas pasar de aceleración a velocidad y de velocidad a posición; es la operación inversa de la derivada en ese sentido práctico.

• Relación derivada–integral: derivar posición da velocidad y derivar velocidad da aceleración. Integrar acelera el proceso inverso.
• Área bajo la curva: sumar pequeños rectángulos bajo la función.
• Aplicación física: calcular el campo eléctrico en una esfera mediante un elemento infinitesimal y sumar en toda la superficie.
• Ley de Gauss: ejemplo donde integrar sobre una superficie es esencial.

¿Cómo se relaciona con la derivada?

• La integral invierte la derivada en contextos como movimiento.
• Integrar la aceleración da la velocidad.
• Integrar la velocidad da la posición.

¿Cómo se interpreta como área?

• Se entiende como la suma de rectángulos bajo la curva.
• Entre x = a y x = b, la integral representa el área firmada.

¿Cómo se calcula una integral definida paso a paso?

Si ya dominas la integral indefinida, la definida es directa. Si ∫ f(x) dx = F(x) + C, entonces la integral definida entre a y b se obtiene con F(b) − F(a). El trabajo real está en encontrar la primitiva F.

• Paso 1: integra la función para obtener F(x).
• Paso 2: evalúa F en b y en a.
• Paso 3: calcula F(b) − F(a).

¿Ejemplo con x cuadrado entre 1 y 2?

Queremos el área bajo f(x) = x cuadrado entre 1 y 2.

• Integral indefinida: ∫ x cuadrado dx = x al cubo entre tres.
• Evaluación: [x al cubo entre tres] de 1 a 2.
• Cálculo: 2 al cubo entre 3 menos 1 al cubo entre 3.
• Resultado: ocho tercios menos un tercio, es decir, siete tercios.

Consejo breve: anota la evaluación con corchetes y límites a la derecha para no perder el orden de sustitución.

¿Cómo manejar funciones que cruzan el eje y áreas negativas?

La integral definida devuelve área firmada. Si la función está por debajo del eje x, el valor sale negativo. Para interpretar área física (siempre positiva), separa por regiones donde la función cambia de signo y corrige con signos.

¿Estrategia para dividir en regiones?

• Identifica los puntos donde f(x) = 0.
• Divide el intervalo en subintervalos según el signo de la función.
• Integra en cada región por separado.
• Cambia el signo de las integrales donde la función es negativa para obtener área positiva.

¿Ejemplo con f(x) igual a x cuadrado menos cuatro de menos cuatro a cuatro?

Buscamos el área total en tres zonas: región 1, región 2 y región 3.

• Zonas laterales (de menos cuatro a menos dos, y de dos a cuatro) están por encima del eje x.
• Zona central (de menos dos a dos) está por debajo del eje x.
• Cálculo propuesto: área igual a integral de menos cuatro a menos dos de f(x) dx, más integral de menos dos a dos de f(x) dx con signo cambiado, más integral de dos a cuatro de f(x) dx.
• La importancia del signo: la parte negativa se resta para contar área positiva.

Practica estos pasos con ejercicios similares. Comparte tus resultados y dudas en comentarios para que la comunidad contraste métodos y soluciones.