Qué es una integral y cómo calcularla

Domina las integrales desde la intuición: aprende a verlas como el proceso inverso de derivar y como el área bajo la curva formada por infinitos rectángulos diminutos. Conecta ideas, domina la constante de integración y resuelve desde integrales inmediatas hasta casos que exigen cambio de variable o integración por partes.

¿Qué es una integral y por qué es el inverso de la derivada?

Integrar genera otra función, recuperando la original a partir de su derivada. Visualmente, sumar áreas de rectángulos cada vez más pequeños bajo la gráfica aproxima el área bajo la curva. Por eso decimos que la integración es, en esencia, el inverso de la derivada.

• Si F'(x) = 3x^2, entonces ∫ 3x^2 dx = F(x) = x^3 + C.
• La constante de integración (+C) es imprescindible: distintas funciones que difieren en una constante tienen la misma derivada.
• El diferencial de x importa: indica con respecto a qué variable integras.
• Estamos trabajando con integrales indefinidas: el resultado es una familia de funciones.

Idea clave: integrar “deshace” derivar, respetando +C y el diferencial.

¿Cuáles son las integrales inmediatas y propiedades clave?

Reconoce patrones típicos para responder al instante. Estas fórmulas se basan en la relación inversa con la derivada y en versiones de la regla de la cadena para integrar.

¿Qué fórmulas inmediatas debes reconocer?

• Potencia directa: ∫ n·x^{n−1} dx = x^n + C.
• Raíz: ∫ 1/(2√x) dx = √x + C.
• Logaritmo neperiano: ∫ 1/x dx = ln x + C.
• Exponencial: ∫ e^x dx = e^x + C.
• Trigonométricas: ∫ sin x dx = −cos x + C; ∫ cos x dx = sin x + C; ∫ 1/cos^2 x dx = tan x + C.
• Versión con composición (regla de la cadena en integración):
• ∫ n·f(x)^{n−1}·f'(x) dx = f(x)^n + C.
• ∫ f'(x)/(2√f(x)) dx = √f(x) + C.
• ∫ f'(x)/f(x) dx = ln f(x) + C.

¿Qué propiedades te simplifican el cálculo?

• Linealidad: ∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx.
• Constantes: ∫ k·g(x) dx = k·∫ g(x) dx.
• Ajuste de forma para casar una inmediata: si te piden ∫ x^3 dx, puedes reescribir como (1/4)∫ 4x^3 dx para usar la forma ∫ n·x^{n−1} dx = x^n + C, quedando x^4/4 + C.
• Verificación útil: deriva tu resultado para confirmar el integrando original.

Atajos prácticos: muchas integrales “parecen” inmediatas tras un pequeño juego algebraico de multiplicar y dividir por constantes.

¿Cómo resolver integrales no inmediatas con cambio de variable y por partes?

Cuando la forma inmediata no aparece claro, usa técnicas que transforman el problema en otro que sí conoces. Dos pilares: cambio de variable e integración por partes.

¿Cómo aplicar un cambio de variable paso a paso?

Objetivo: simplificar la forma del integrando (por ejemplo, eliminar una raíz).

Ejemplo guía: ∫ x^2·√(x+1) dx.

• Elige la sustitución que “quita” la dificultad: toma x+1 = t^2, así √(x+1) = t.
• Deriva para transformar el diferencial: dx = 2t dt.
• Reescribe todo en t: x = t^2 − 1, x^2 = (t^2 − 1)^2 y √(x+1) = t.
• Sustituye: ∫ (t^2 − 1)^2 · t · 2t dt = ∫ (2t^6 − 4t^4 + 2t^2) dt.
• Integra término a término: (2/7)t^7 − (4/5)t^5 + (2/3)t^3 + C.
• Vuelve a x: t = √(x+1), quedando (2/7)(x+1)^{7/2} − (4/5)(x+1)^{5/2} + (2/3)(x+1)^{3/2} + C.

Claves del método: - La sustitución debe hacer “desaparecer” lo difícil. - No olvides transformar el diferencial de x. - Regresa a la variable original al final.

¿Cuándo usar la integración por partes?

Sirve para productos donde una parte se deriva fácil y la otra se integra fácil. Fórmula: ∫ U(x)·V'(x) dx = U(x)·V(x) − ∫ V(x)·U'(x) dx.

Ejemplo claro: ∫ x·e^x dx. - Elige U = x (deriva fácil), V' = e^x (integra fácil). - Entonces U' = 1 y V = e^x. - Aplica la fórmula: x·e^x − ∫ e^x·1 dx = x·e^x − e^x + C.

Pistas de uso: - Si derivar U simplifica el producto, vas bien. - Si integrar V' es inmediato, mejor aún. - Recuerda el famoso recurso mnemónico: “Un día vi una vaca vestida de uniforme”.

¿Te quedaron dudas, te salió un resultado distinto o tienes otro ejemplo que quieras discutir? Déjalo en los comentarios y lo resolvemos juntos.