Reglas de derivación sin la definición

Domina las derivadas con reglas claras y ejemplos directos. Aquí encontrarás cómo pasar de la definición de derivada al cálculo rápido con polinomios, raíces, exponenciales, logaritmos y trigonométricas; además del producto, cociente y la regla de la cadena. Verás aplicaciones en crecimiento, máximos y mínimos, concavidad y optimización.

¿Cómo pasar de la definición de derivada al cálculo eficiente?

Comprender la definición es el primer paso: el límite de [f(x+h) − f(x)]/h. A partir de ahí, se operacionaliza con reglas. Con x³, expandiendo con el binomio y simplificando, la derivada resulta ser 3x². Este patrón revela la regla de la potencia: si f(x) = x^n, entonces f'(x) = n·x^(n−1).

¿Qué ocurre con polinomios generales?

• Para P(x) = a_n x^n + … + a_1 x + a_0, la derivada es P'(x) = n·a_n x^(n−1) + … + a_1.
• Interpretación operativa: bajar el exponente y restar uno, término a término.

¿Qué práctica acelera el aprendizaje?

• Empieza con x² y x⁴. Practica la mecánica.
• Combina términos: x² + x, 2x + 1. Consolida la regla de la suma y la constante.
• Repite muchos ejercicios. La fluidez llega con volumen de práctica.

¿Qué reglas de derivación debes conocer?

La clave es aplicar reglas sin volver cada vez a la definición. Estas son las más usadas.

¿Cuáles son las derivadas fundamentales?

• Constante c: (c)' = 0.
• Constante por función k·f(x): (k·f)' = k·f'(x).
• Suma/resta: (f ± g)' = f' ± g'.
• Raíz: si f(x) = √x, entonces f'(x) = 1/(2√x).
• Exponencial a^x: (a^x)' = a^x·ln a; en particular, (e^x)' = e^x.
• Logaritmo: (ln x)' = 1/x.
• Trigonométricas: (sen x)' = cos x, (cos x)' = −sen x, (tan x)' = 1/cos² x.

¿Cómo se derivan productos y cocientes?

• Producto f·g: (f·g)' = f'·g + f·g'.
• Cociente f/g: (f/g)' = (f'·g − f·g')/g².

¿Cómo aplicar la regla de la cadena y para qué sirve?

La regla de la cadena conecta funciones compuestas. Si h(x) = f(g(x)), entonces h'(x) = f'(g(x))·g'(x). Es esencial para raíces, exponenciales, logaritmos y trigonométricas con argumentos no triviales.

¿Cómo se aplican las formas compuestas más comunes?

• √(f(x)): d/dx = f'(x)/(2√(f(x))).
• a^{f(x)}: d/dx = a^{f(x)}·ln a·f'(x).
• e^{f(x)}: d/dx = e^{f(x)}·f'(x).
• ln(f(x)): d/dx = f'(x)/f(x).
• sen(f(x)): d/dx = cos(f(x))·f'(x).
• cos(f(x)): d/dx = −sen(f(x))·f'(x).
• tan(f(x)): d/dx = (1/cos²(f(x)))·f'(x).

¿Cómo se resuelve un ejemplo con producto?

• Sea f(x) = 3x²·(x − 1).
• Define p(x) = 3x², q(x) = x − 1. Entonces p'(x) = 6x, q'(x) = 1.
• Por producto: f'(x) = p'·q + p·q' = 6x(x − 1) + 3x².

¿Qué aplicaciones tienen las derivadas en ciencia y análisis funcional?

• Cambio y movimiento: velocidad como derivada de la posición; aceleración como derivada de la velocidad.
• Modelado: referencia al concepto de fuerza como derivada del momento respecto a la posición.
• Estudio de funciones: derivada positiva cuando la función crece; negativa cuando decrece; cero en máximos o mínimos relativos.
• Curvatura: segunda derivada para concavidad, convexidad y puntos de inflexión.
• Optimización: para hallar extremos, se busca donde la derivada se hace cero.

¿Te gustaría que resolvamos algún ejercicio específico o que revisemos un tipo de función que te cueste? Escribe tu duda y la trabajamos juntos.