Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

Domina los sistemas de ecuaciones lineales con claridad y confianza: modela situaciones reales, clasifícalas y resuélvelas paso a paso con sustitución, igualación, reducción y álgebra matricial. Verás cómo llegar a una solución exacta y por qué estas herramientas son clave en física e ingeniería.

¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales y por qué importa en física e ingeniería?

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones conectadas por las mismas incógnitas. En los lineales, las incógnitas aparecen en primer grado y no se multiplican entre sí. Se representan con letras como X, Y o Z.

Ejemplo práctico: el problema de las ovejas de Juan y Antonio se modela con dos ecuaciones lineales: X + Y = 12 y X/2 = 2Y. Primero se traduce la situación a lenguaje algebraico; luego se resuelve el sistema.

• Sistema de ecuaciones lineales: relaciones entre incógnitas del primer grado.
• Modelado algebraico: pasar del enunciado a ecuaciones, como X + Y = 12.
• Aplicación: problemas reales en física e ingeniería con soluciones exactas o aproximadas.

¿Cómo se clasifican los sistemas y qué implica cada caso?

La clave es comparar número de incógnitas con cantidad de datos (información útil), no solo con el número de ecuaciones. Dos ecuaciones pueden aportar la misma información si una es múltiplo de la otra: x + y = 2 y 2x + 2y = 4.

• Compatible determinado: tantas incógnitas como datos. Solución única y exacta.
• Compatible indeterminado: más incógnitas que datos. Infinitas soluciones, p. ej., todas las parejas que cumplen x + y = 2.
• Incompatible: menos incógnitas que datos por medidas imperfectas. No hay solución exacta; se recurre a métodos estadísticos.

Contexto STEM:

• Problemas bien descritos dan solución analítica exacta.
• Con información insuficiente hay infinitas soluciones.
• Con exceso de datos y errores de medida, el sistema puede ser incompatible.

¿Cómo resolver sistemas lineales paso a paso con métodos clave?

Resolver consiste en aislar incógnitas con operaciones válidas. En el ejemplo X + Y = 12 y X/2 = 2Y, se aplican tres métodos clásicos y todos llevan al mismo resultado.

¿Qué es el método de sustitución?

Se despeja una incógnita y se sustituye en la otra ecuación.

• De X + Y = 12, se obtiene X = 12 − Y.
• Sustituyendo en X/2 = 2Y: (12 − Y)/2 = 2Y → 12 − Y = 4Y → 5Y = 12.
• Resultados: Y = 12/5 y X = 48/5 al sustituir de vuelta.

¿Cómo funciona la igualación?

Se expresa X con cada ecuación y se igualan las expresiones.

• X = 12 − Y y X = 4Y.
• Entonces 12 − Y = 4Y → 5Y = 12 → Y = 12/5, X = 48/5.

¿En qué consiste la reducción?

Se combinan ecuaciones para eliminar una incógnita.

• Multiplicar y restar para anular X.
• Se llega otra vez a 5Y = 12 y a los mismos valores.

Resultados y habilidades:

• Sustitución, igualación y reducción resuelven sistemas lineales con eficacia.
• Verificación: sustituir soluciones en ambas ecuaciones.
• Criterio: elegir el método más directo según el sistema.

¿Cómo usar la matriz inversa en AX = B?

Cualquier sistema lineal puede escribirse como AX = B, donde A es la matriz de coeficientes, X la de incógnitas y B la de términos independientes. Si A es invertible, la solución es X = A⁻¹B.

Puntos clave de álgebra matricial:

• No conmutativo: A·B ≠ B·A en general, así que se multiplica por A⁻¹ a la izquierda.
• Sin división de matrices: la operación inversa es la matriz inversa, no “dividir”.
• Matriz identidad: A⁻¹·A = I, y I·X = X.
• Métodos como el método de Gauss existen, pero aquí se resalta el uso de la matriz inversa.
• La mecánica matricial es fundamental en mecánica cuántica, donde estas ideas son esenciales.

Si te interesa profundizar, comenta qué tipo de sistema quieres practicar o qué método te gustaría dominar primero.