Propiedades y Cálculo de la Norma de Vectores

¿Cómo encontrar la magnitud de un vector?

Entender las operaciones con vectores es crucial en matemáticas y en el análisis de datos. Hasta ahora, hemos aprendido operaciones fundamentales como la suma, el producto punto y cómo multiplicar vectores por escalares. Al comprender estas operaciones, también hemos logrado aplicaciones prácticas, como la creación de un modelo básico de análisis de sentimientos.

Sin embargo, algunos términos vitales aún no han sido definidos, como la magnitud, el sentido y la orientación del vector. En el caso del sentido, hemos visto que se invierte al multiplicar por escalares. Ahora, vamos a adentrarnos en el concepto de magnitud, introduciendo la "norma", un concepto elemental en el álgebra lineal y la geometría.

La norma de un vector es una medida de su longitud. La más común es la norma euclidiana, la cual mide la distancia utilizando la fórmula de Euclides. La notación para esta operación es con dos barras verticales de cada lado del vector.

Veamos un ejemplo: para un vector ((1, 2, 3)), su magnitud se calcula como:

[ \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} \approx \sqrt{14} \approx 3.74 ]

¿Qué propiedades tiene la norma de un vector?

La norma posee varias propiedades importantes:

• Homogeneidad no negativa: La norma de un vector multiplicado por un escalar positivo es el producto del valor absoluto del escalar por la norma del vector original.
• Desigualdad del triángulo: La suma de normas no puede ser mayor que la norma de la suma de los vectores.
• No negatividad: La norma de un vector siempre es mayor o igual a cero, siendo cero solo cuando el vector es el vector cero.

Por ejemplo, si tomamos un vector ((2, -1, 2)), su norma es:

[ \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 ]

¿Cómo aplicar la norma en programación?

Para aplicar estos conceptos en programación, utilizamos librerías como NumPy en Python que facilitan el cálculo de la norma.

import numpy as np

def norma(vector):
    return np.sqrt(np.dot(vector, vector))

u = np.array([1, 1])
print("La norma de u es:", norma(u))

La función norma toma un vector y devuelve su magnitud. Se utiliza np.dot para calcular el producto punto del vector consigo mismo y np.sqrt para obtener la raíz cuadrada.

Escalamiento y propiedad de la homogeneidad

Para ilustrar la propiedad de homogeneidad:

u = np.array([1, 1])
norma_u = norma(u)
escalar = 2
u_escalado = u * escalar
print("La norma de 2 * u es:", norma(u_escalado))

Aunque escalamos ( u ) por ( 2 ), la magnitud del vector resultante será ( 2 ) veces la de ( u ).

¿Qué es la desigualdad del triángulo?

La desigualdad del triángulo dice que la magnitud de la suma de dos vectores no puede superar la suma de sus magnitudes individuales. Vamos a probar esto:

v = np.array([-1, 1])
print("Norma de u + v:", norma(u + v))
print("Suma de normas de u y v:", norma(u) + norma(v))

La igualdad o desigualdad que obtengamos al realizar esto validará la propiedad.

Reflexionando sobre vectores rotados

Finalmente, observamos cómo dos vectores de igual norma pueden diferir en orientación, como es el caso de ( u ) y ( v ). Aunque ambos vectores tienen la misma magnitud, apuntan en direcciones diferentes, lo que abre las puertas a entender nociones de rotación y transformación de vectores en espacios multidimensionales.

Continúa practicando con estos ejemplos y jugando con diferentes vectores y operaciones. Esto no solo fortalecerá tu comprensión teórica, sino que también mejorará tus habilidades prácticas en programación y análisis de datos. ¡Sigue aprendiendo y explorando el fascinante mundo de los vectores!