Cálculo de Distancias entre Vectores usando Normas Euclidianas y LP

¿Cómo calcular la distancia entre dos vectores?

Calcular la distancia entre dos vectores es una habilidad esencial en matemáticas y física porque nos ayuda a entender la relación espacial entre dos puntos. Esta distancia se determina a menudo utilizando la magnitud de la resta de los vectores. En esta clase, abordaremos varios métodos para medir distancias y su interpretación geométrica.

¿Cómo se definen los vectores y las operaciones básicas?

Para comenzar, primero debemos definir nuestros vectores. Supongamos que tenemos dos vectores en un espacio 'R^2'.

import numpy as np

a = np.array([1, 1])
b = np.array([-2, 3])

La resta de estos dos vectores dará lugar a un nuevo vector que nos permite calcular la distancia entre 'a' y 'b'. Este nuevo vector 'c' se obtiene así:

c = a - b

¿Qué es la suma del paralelogramo?

La suma de vectores puede representarse geométricamente mediante la construcción del paralelogramo. Esto implica trasladar un vector para que su punto de inicio coincida con el punto de fin del otro y trazar las líneas paralelas correspondientes. La diagonal del paralelogramo resultante es la suma de los vectores.

¿Qué forma tiene la resta de vectores?

La resta de los vectores se puede entender como el vector necesario para moverse de un vector a otro en el espacio. Para visualizarlo, simplemente trasladamos uno de los vectores a la posición definitiva después de la operación.

¿Cómo calcular la distancia usando la norma euclidiana?

La norma euclidiana, una medida basada en la geometría euclidiana, es una de las formas más comunes para calcular la distancia entre dos vectores en un plano. Se calcula de la siguiente manera:

distance = np.linalg.norm(a - b)

NumPy ofrece una función precargada np.linalg.norm, lo que simplifica el cálculo sin repetir código.

¿Qué otras normas podemos utilizar para medir?

La norma euclidiana es solo una opción. Existen otras normas conocidas como normas 'LP', que proporcionan diferentes métodos de medición dependiendo del valor de 'p'.

• Para p = 1, obtenemos la norma L1 o métrica de Manhattan, relevante en entornos urbanos donde el desplazamiento se realiza en cuadrículas, no en línea recta.
• Para p = ∞, obtenemos la norma L∞ o métrica del máximo, que mide distancias usando el valor máximo de las componentes de un vector.

¿Cómo se ve la diferencia entre L1 y L2 visualmente?

Al medir distancias con normas diferentes, cambian nuestras restricciones geométricas. Con la norma L2, la medición se parece más a trazos diagonales, mientras que con la norma L1, las trayectorias restringen movimientos a líneas horizontales y verticales.

¿Qué son las propiedades importantes de la norma?

Cuando trabajamos con normas, las propiedades como la desigualdad triangular son esenciales. Establecen que la magnitud del vector es siempre menor o igual a la suma de las magnitudes de sus componentes. Esto es fundamental al analizar la estructura del espacio vectorial y para hacer comparaciones entre diferentes vectores.

El siguiente paso en el aprendizaje implica considerar aplicaciones prácticas de estas normas y cómo pueden usarse para tomar decisiones eficientes, como en la búsqueda de viviendas en un mapa urbano restringido a trayectorias en cuadrícula.