Buenas tardes, hubiera sido bueno que el ejemplo del login hubiera sido con APi , hubiera dado mejor orientacion que usando un userBD.js de ejemplo.
si fuera con una API, en la función de onSubmit debes hacer el llamado y enviar los datos, la respuesta te devolverá si los datos ingresados son correctos o no. esa seria al validación, el resto quedaría igual.
Hasta donde puedo entender, react-native solo te permite elaborar el front end para la aplicación móvil, por llamarlo de alguna forma. Para realizar acciones por el lado de servidor, te tocaría usar otra herramienta como express.js
Si les molesta que el error que indica que las credenciales son incorrectas aparezca muy abajo, es porque los Text de errores de user y password se renderizan siempre tengan texto o no.
Agregandole un simple if para controlar si existe el error para renderizar el <Text>
