Para la primera me resulta algo parecido. Comienzo con la sustitución: z=3x-y+4 Derivando con respecto a x obtengo: dz/dx=3-dy/dx o bien ...

Para la primera me resulta algo parecido.

Comienzo con la sustitución:

z=3x-y+4

Derivando con respecto a x obtengo:

dz/dx=3-dy/dx o bien dy/dx=3-dz/dx

Haciendo las sustituciones se sigue que:

3-dz/dx = dy/ex = 3x-y+4 = z

3-dz/dx = z

dz/dx = 3 - z

Aplico separación de variables

dz/(3-z) = dx

Integró

x = -ln|3-z| + c

Aplicando exponencial a ambos lados, queda:

e^x = (1/(3-z)) C = (1/(3-3x+y-4))C = C/(y-3x-1)

Esto es

(y-3x-1)e^x = C

O bien

y = 3x + 1 + Ce^-x

La diferencia es sutil pero según debería quedar con signo negativo la x en el exponente.

Para la segunda, la resolví como una ecuación exacta y según unas notas la f (x,y) que obtengo se iguala a una constante arbitraria, así obtuve:

F (x,y) = xye^x+2y+x = (xe^x+2)y + x = C

De donde

y = (C-x)/(xe^x+2)

La tercera dados el factor integrante y la ecuación se obtiene

(2xy^3-6x^2y^2)dx+(3x^2y^2-4x^3y)dy

Con M=2xy^3-6x^2y^2 y N=3x^2y^2-4x^3y

Derivando a M con respecto a y y a N con respecto a x el resultado es igual en ambos casos 6xy^2-12x^2y

Con lo cual el factor integrante nos ayuda a obtener una ecuación exacta

Para el cuarto, no estoy muy seguro pero como que recuerdo que realizó algo parecido en un ejemplo, propongo la sustitución y=xv con v como función de x así al derivar con respecto a x obtengo

dy/dx = x dv/ex + v

Haciendo las respectivas sustituciones, se tiene que

x dv/dx + v = (x+3xv)/(3x+xv) = (1+3v)/(3+v)

De donde

x dv/dx = (1+3v-v(3+v))/(3+v) = (1-v^2)/(3+v)

Separando variables

((3+v)dv)/(1-v^2) = dx/x

Y para la quinta hay que resolver el sistema

x+y=-4

-x+3y=-2

Por eliminación y=-3/2 y al sustituir en cualquiera de las dos obtenemos x=-5/2

Quisiera saber si en la cuarta estoy bien