Analíticamente como sería la probabilidad de obtener al menos dos veces 1 en 10 tiros ?

@ismael-zavala-lopez

Muchas gracias por el libro y la explicación.

No logro ver la sustitución que realizas:

P(X ≥ 2)

Pero usando el complemento, esto es lo mismo a decir:

P(X ≥ 2) = 1 - P(X ≤ 1)

Resolviendo entonces tenemos que:

P(X ≤ 1) = P(X=0) + P(X=1)

Saludos.

Las condiciones que planteas sigue las características de una DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL, en el cual se realiza un experimento aleatorio de n ensayos que cumplen las siguientes condiciones:

• Los ensayos son independientes.
• Cada ensayo tiene sólo dos resultados, etiquetados como “éxito, si sale 1” y “falla, si no sale 1”.
• La posibilidad de éxito en cada ensayo, denotada por p, permanece constante, la probabilidad de exito en un ensayo es igual 1/6.
• La variable X se define como el número de ensayos que resultan en éxito ![](

Reemplazas los parametros n=10 y p=1/6, de tal forma que ya puedes calcular la probabilidad de cualquier X.

Como en tu pregunta quieres saber la probabilidad de al menos dos éxitos, esto representa la PROBABILIDAD ACUMULADA que es igual a la suma de las probabilidades de los valores menores o iguales a X=2

P(X<=2) = f(0) + f(1) + f(2)

puedes notar que las formulas que te estoy dando son las misma que nos da el compañero @ismael-zavala-lopez

Saludos!

Una disculpa, después de repasar mucho la respuesta que te deje abajo y el problema que planteas me di cuenta de que estoy mal en la respuesta que te deje abajo, así que solo ignórala.

Mira para hacer tu problema es un poco mas complejo, debemos trabajar con distribuciones de probabilidad, que no es mas que agregar una combinación a nuestro procedimiento, esto se explica en el capitulo 5 del libro que te pase.

https://vereniciafunez94hotmail.files.wordpress.com/2014/08/8va-probabilidad-y-estadistica-para-ingenier-walpole_8.pdf

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Si tu dices que quieres al menos dos numero 1 en 10 tiros, y sea X el evento de obtener un 1 en 10 tiros. Entonces estamos buscando la probabilidad P de que X ≥ 2, ósea:

P(X ≥ 2)

Pero usando el complemento, esto es lo mismo a decir:

P(X ≥ 2) = 1 - P(X ≤ 1)

Resolviendo entonces tenemos que:

P(X ≤ 1) = P(X=0) + P(X=1)

La cuestión aquí es que hay muchas combinaciones que nos pueden dar esos resultados, entonces a cada probabilidad debemos multiplicarle el numero de combinaciones, es decir:

sumando tenemos:

P(X ≤ 1) = 0.1615 + 0.3230 = 0.4845

Por lo tanto:

P(X ≥ 2) = 1 - 0.4845 = 0.5155

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Para no cometer el mismo error de la vez pasada, me di a la tarea de simular esta situación con un código muy similar al del profesor, solo modifique para que se adaptara a nuestro problema, obteniendo el siguiente resultado:

El código que use es el siguiente:

import random

def tirar_dado(numero_de_tiros):
    secuencia_de_tiros = []

    for _ in range(numero_de_tiros):
        tiro = random.choice([1,2,3,4,5,6])
        secuencia_de_tiros.append(tiro)
    
    return secuencia_de_tiros


def main(numero_de_tiros, numero_de_intentos):
    tiros = []
    for _ in range(numero_de_intentos):
        secuencia_de_tiros = tirar_dado(numero_de_tiros)
        tiros.append(secuencia_de_tiros)
    
    prob = 0
    for tiro in tiros:
        aparicion = 0
        for val in tiro:
            if val == 1:
                aparicion += 1
        if aparicion >= 2:
            prob += 1
        
       
    probabilidad_tiros_con_1 = prob/numero_de_intentos
    print(f'Probabilidad de obtener por lo menos dos 1 en {numero_de_tiros} tiros = {probabilidad_tiros_con_1}')

if __name__ == '__main__':
    numero_de_tiros = int(input('Cuantos tiros del dado: '))
    numero_de_intentos = int(input('Cuantas veces correra la simulacion: '))
    
    main(numero_de_tiros, numero_de_intentos)

Espero haya resuelto tu duda, te invito a leer el libro de Walpole de probabilidad ya que es muy bueno. De nuevo una disculpa por mi primer respuesta.

Saludos!!!

Concuerdo con dmiranda2791. Te explico, para resolver este tipo de problemas es mejor estudiar su complemento.

Si tu dices que quieres al menos dos numero 1 en 10 tiros, y sea X el evento de obtener un 1 en 10 tiros. Entonces estamos buscando la probabilidad P de que X ≥ 2, ósea:

P(X ≥ 2)

Pero usando el complemento, esto es lo mismo a decir:

P(X ≥ 2) = 1 - P(X ≤ 1)

Resolviendo entonces tenemos que:

P(X ≤ 1) = P(X=0) + P(X=1)

Donde para cada probabilidad de X:

P(X=0) = (1/6)^0 + (5/6)^10 = 0.1615 P(X=1) = (1/6)^1 + (5/6)^9 = 0.0323

Sustituyendo:

P(X ≤ 1) = P(X=0) + P(X=1) = 0.1615 + 0.0323 = 0.1938

P(X ≥ 2) = 1 - P(X ≤ 1) = 1 - 0.1938 = ++0.8062++

---

Si lo hubiéramos hecho sin usar el complemento tendríamos:

P(X ≥ 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)

Lo cual es obviamente mas tardado, pero lo voy a hacer para que lo veas. Calculamos entonces:

P(X=0) =(1/6)^0+(5/6)^10 = 0.1615 P(X=1) = (1/6)^1 + (5/6)^9 = 0.0323 P(X=2) = (1/6)^2 + (5/6)^8 = 0.2603 P(X=3) = (1/6)^3 + (5/6)^7 = 0.2837 P(X=4) = (1/6)^4 + (5/6)^6 = 0.3356 P(X=5) = (1/6)^5 + (5/6)^5 = 0.4020 P(X=6) = (1/6)^6 + (5/6)^4 = 0.4822 P(X=7) = (1/6)^7 + (5/6)^3 = 0.5787 P(X=8) = (1/6)^8 + (5/6)^2 = 0.6944 P(X=9) = (1/6)^9 + (5/6)^1 = 0.8333 P(X=10)=(1/6)^10+(5/6)^0 = 1.0000

Pero cuidado, si te fijas si empezamos a sumar estos valores nos va a dar cosas mayores a 1, lo cual seria muy extraño, recuerda que solo deben haber valores de 0 a 1.

Lo que esta pasando aquí es que las probabilidades que calculamos son para eventos no mutuamente excluyentes. Por lo tanto ya no podemos simplemente sumar probabilidades como

P(A U B) = P(A) + P(B)

sino

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Mira, prefiero no seguir mas porque siento que te voy a confundir, si quieres investigar mas de este tema te recomiendo el libro de probabilidad y estadística de Walpole, es un excelente libro para aprender de estas cuestiones.

https://vereniciafunez94hotmail.files.wordpress.com/2014/08/8va-probabilidad-y-estadistica-para-ingenier-walpole_8.pdf

Me pareció interesante la pregunta así que hice mi análisis, me gustaría que alguien más por acá lo verificará.

La probabilidad de obtener al menos dos veces 1 en 10 tiros es igual a unos menos la probabilidad de obtener cero veces 1 en 10 tiros, menos la probabilidad de obtener una vez 1 en 10 tiros.

La probabilidad de obtener 0 veces uno en 10 tiros es igual a

, ya que en que cada tiro tenemos 5/6 probabilidad de obtener un número distinto a uno. Multiplicado por 10 por la cantidad de tiros.

La probabilidad de obtener una vez uno en 10 tiros es igual a la probabilidad de obtener uno número distinto a uno 9 veces y obtener un uno una vez, usando la ley multiplicativa de nuevo es igual a

.

Por lo tanto, la probabilidad de obtener dos veces 1 en 10 tiros es igual a: