En la definición matemática de métrica se habla que la distancia (norma) sea siempre positiva, sin embargo en física hay pseudo-métricas ...

Exacto, una de las propiedades que debe cumplir un distancia es que sea positiva definida para todo par de vectores de tu espacio vectorial. Pero una pseudométrica es una generalización de la una métrica. Ya que la distancia debe cumplir que es cero si y solo si los puntos que mides son los mismos, en la pseudodistancia la doble implicación no es necesaría. Esto es, si mides la pseudodistancia de un punto consigo mismo, debe ser cero. Pero ya no es necesariamente cierto que si la pseudodistancia es cero entonces se trata del mismo punto. Puntos distintos pueden tener una pseudodistancia cero.

mmm la norma siempre debe ser positiva ya que esta en su definición matemática como tal, ya que es una suma de cuadrados, pero si pueden existir métricas con valores negativos, en la literatura puede encontrar una gran cantidad de ejemplos y se pueden "inventar" muchos otros tipos de métricas pero cada una de ellas va a tener ventajas y desventajas que se deben tener en cuenta dependiendo del problema objetivo y de los métodos usados. por último las pseudo-métricas es algo más complejo (cumple una condición diferente que una métrica) y si es "usado" en machine learning en sistemas de ranking/recomendación.