¿Qué son las transformaciones lineales y cómo afectan a los vectores?
Las transformaciones lineales son un concepto fundamental en álgebra lineal, el cual describe cómo un vector puede ser manipulado por una matriz para cambiar de dirección o magnitud. Este proceso es crucial en muchos campos, como la física, la computación gráfica o la inteligencia artificial. Un auto-víctor particular es un vector que, cuando se le aplica una transformación, mantiene su dirección original, aunque su amplitud puede variar tras ser multiplicado por un autovalor.
¿Cómo podemos graficar transformaciones lineales?
Para visualizar cómo una matriz transforma un vector, podemos utilizar herramientas de gráficos en Python. Aquí, importamos las bibliotecas necesarias para esta tarea, que incluyen numpy como np y matplotlib.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
defgraficar_vectores(vectores, colores, límites): plt.figure() plt.axvline(x=0, color='grey', lw=2) plt.axhline(y=0, color='grey', lw=2)for i inrange(len(vectores)): x = np.array([0, vectores[i][0]]) y = np.array([0, vectores[i][1]]) plt.quiver(x[0], y[0], x[1], y[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color=colores[i]) plt.xlim(límites['x']) plt.ylim(límites['y']) plt.grid() plt.show()
¿Cómo encontrar autovectores y autovalores?
Para hallar un autovector, debemos encontrar un vector que no cambie su dirección tras aplicarle una matriz de transformación. Este proceso también implica determinar el autovalor asociado.
Ejemplo de cálculo
Supongamos que tenemos la siguiente matriz y vector:
A = np.array([[3,2],[4,1]])v = np.array([1,1])
Para encontrar el vector transformado, aplicamos el producto interno a v:
v_transformado = np.dot(A, v)
Esto nos devuelve un nuevo vector que podemos graficar junto al original para observar las diferencias.
Cálculo del autovalor
Los resultados del producto pueden interpretarse para encontrar el autovalor:
Si v_transformado es un múltiplo de v, entonces el factor de multiplicación es el autovalor.
En este ejemplo, si v_transformado resulta ser [5, 5], entonces el autovalor sería 5.
Visualización de vectores originales y transformados
Para demostrar la teoría, graficamos los vectores usando colores distintos para diferenciar entre vectores originales y transformados:
colores =['#FF9A13','#1190FF']# Naranja y azul clarolímites ={'x':[-1,6],'y':[-1,6]}graficar_vectores([v, v_transformado], colores, límites)
Esta representación visual muestra claramente el cambio en la magnitud o sentido del vector tras la transformación.
¿Cuántos autovectores puede tener una matriz?
En una matriz 2x2, como en nuestro ejemplo, podemos encontrar hasta dos autovectores con sus respectivos autovalores. Esto significa que hay dos direcciones distintas que, al ser transformadas, conservan su dirección dentro de la misma transformación.
Al explorar estos conceptos, enriquecemos nuestra comprensión del álgebra lineal y su aplicación práctica en la resolución de problemas complejos, alentando a los estudiantes a continuar mejorando su habilidad y abriendo la puerta a más aplicaciones matemáticas.
Autovectores:
Son vectores cuya dirección no se modifica al aplicarle la trasformación de una matriz, el sentido y el tamaño sí puede variar. El valor que transforma el vector inicial en el vector final se llama autovalor.
Notas:
Sólo las matrices cuadradas tienen autovectores.
Hay tantos autovectores como la dimención de la matriz
Hola yo añado que pueden haber menos que la dimensión, en el caso de ser repetidos, por ejemplo la matriz
1 1
0 1
Tiene 1 autovector
Buen aporte.
Según entendí (y si me equivoco por favor me corrigen), un autovalor es aquel número que al ser multiplicado por un vector no modifica al vector en su dirección (ángulo) pero sí puede hacerlo en su magnitud y sentido.
Después de un año esta respuesta puede ser poco significativa para ti, pero creo que puede ayudar a muchos a entender este concepto.
Qué no es un autovalor
Un autovalor no es un número que al ser multiplicado por un vector mantiene la dirección de este ya que entonces cualquier número sería un autovalor. Si recuerdas, al multiplicar un número por un vector estamos realizando un producto escalar, que hace justamente eso, modificar el tamaño o el sentido (apuntar al lado contrario sin modificar su ángulo) sin modificar su dirección.
Qué es una autovalor
Un autovalor está asociado a una transformación lineal (que se puede representar por medio de una matriz) Los autovalores existen con sus respectivos autovectores. Un autovector es un vector que después de pasar por una transformación lineal no cambia su dirección (mantiene su ángulo) y sólo cambia su magnitud o su sentido (puede quedar apuntando hacia el otro lado). La proporción por la cual cambia su magnitud y su sentido después de la transformación es el autovalor asociado. Entonces, por ejemplo, en la demostración del video el autovector es el [1, 1] y su autovalor asociado es el 5, dado que este vector después de la transformación no cambia su dirección pero sí su magnitud en 5, pasa a ser el [5, 5]. En el último ejemplo, aunque no muestran cuál es el autovalor es posible deducir que es el -1, dado que después de la transformación el vector mantiene su longitud, pero apunta en el sentido contrario (eso sí, manteniendo su ángulo, lo cual lo hace un autovector).
Dejo aquí una lista de videos que es muy buena para entender todos estos conceptos:
Las matrices como transformaciones lineales
El determinante de una matriz
Autovectores y autovalores
para complementar un poco lo que se vio en clase consideremos la ecuación de los autovectores. En este sentido v será un autovector si:
A v = λ v
donde A es una matriz cuadrada y λ un autovalor. De esta forma vemos el soporte matemático de lo que se hizo en clase: al aplicar la matriz A al vector v, se obtuvo el mismo vector multiplicado por un escalar.
Gracias
Autovalores y Autovectores.
Las transformaciones lineales ejercen trasformaciones sobre nuestros vectores. Un auto vector es cuando a un vector le aplicamos la transformación no sufre ninguna transformación.
# Importamos las bibliotecas%matplotlib inline
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Importamos nuestra función para graficar. %run ".\\Funciones auxiliares\graficarVectores.ipynb"# Vamos a definir 2 coloresorange_light ='#FF9A13'blue_light ='#1190FF'# Definimos una matrizX = np.array([[3,2],[4,1]])print(X)# Definimos un vector v = np.array([[1],[1]])print(v)'''Recordemos que lo que estamos queriendo ver es un vector que cuando lo apliquemos la matriz siga siendo el mismo
vector, incluso cuando este sea un multiplo del vector original '''# A nuestro vector transformado lo llamaremos u # Para transformarlo le vamos a aplicar el producto interno al vector original u = X.dot(v)print(u)# Graficamos los vectoresgraficarVectores([u.flatten(), v.flatten()], cols=[orange_light, blue_light])plt.xlim(-1,6)plt.ylim(-1,6)# Lo que obtuvimos es nuestro vector original que se llama v con color azul que fue expandido al # aplicarle nuestra transformación x de color naranja # Lo que esta ocurriendo es que nuestro auto valor es 5 y si lo multiplicamos. Entonces, un auto vector # Es aquel que cuando de aplico una matriz me devuelve el mismo vector con la misma dirección, pero con una # Amplitud distinta. Ósea, puede estar multiplicado por el autovalor.lambda_1 =5lambda_1 * v
# Este valor no es único, aquí vamos a definir otro y tendrá la misma propiedad. s = np.array([[-1],[2]])print(s)# Para transformarlo le vamos a aplicar el producto interno al vector original t = X.dot(s)print(t)graficarVectores([t.flatten(), s.flatten()], cols=[orange_light, blue_light])plt.xlim(-3,3)plt.ylim(-3,3)# Veamos que la dirección se mantiene, aunque haya un cambio de sentido
Conclusión: Una matriz de 2x2 tiene 2 auto vectores y 2 autovalores asociados.
estos comentarios me ayudar mucho a entender los temas, gracias
Un vector está compuesto por un módulo, dirección y sentido, un autovector obligatoriamente conservará su dirección, más no la magnitud y el sentido
Un autovector es aquel que cuando le aplico una matriz me devuelve el vector con la misma dirección pero puede tener una amplitud distinta. Puede estar multiplicado por el autovalor.
Resumo:
Un vector es autovector de una matriz cuando el resultado de multiplicar la matriz por el autovector es igual a multiplicar ese mismo vector por un escalar . Este escalar se llama autovalor
Los autovalores y autovectores son conceptos fundamentales en álgebra lineal, especialmente útiles en el análisis de transformaciones lineales. Aquí te explico de forma clara qué son, para qué sirven y cómo se usan en transformaciones lineales, incluyendo ejemplos en Python.
🔷 ¿Qué son?
✅ Autovector (Eigenvector)
Es un vector que no cambia de dirección cuando se le aplica una transformación lineal, solo puede ser escalado (alargado o acortado).
✅ Autovalor (Eigenvalue)
Es el escalar que indica cuánto se escala el autovector después de aplicar la transformación.
🔹 Definición matemática
Si AA es una matriz cuadrada, un autovector v⃗≠0\vec{v} \neq 0 y su correspondiente autovalor λ\lambda satisfacen:
Av⃗=λv⃗A \vec{v} = \lambda \vec{v}
🔸 Interpretación en transformaciones lineales
Cuando aplicamos una transformación lineal representada por una matriz AA, los autovectores son direcciones que no rotan. Solo se escalan por su autovalor correspondiente.
Ejemplo:
Si una matriz representa una rotación o estiramiento, los autovectores indican las direcciones "invariantes", y los autovalores cuánto se alargan o acortan esas direcciones.
📌 Aplicaciones
Compresión de datos (PCA)
Dinámica de sistemas
Computación gráfica
Análisis de redes
Machine Learning
🐍 Ejemplo en Python con NumPy
import numpy as np
# Matriz de transformación
A = np.array([[2, 1],
[1, 2]])
# Autovalores y autovectores
autovalores, autovectores = np.linalg.eig(A)
Si quieres visualizar cómo actúan los autovectores en una transformación, puedo ayudarte a generar un gráfico de vectores antes y después de aplicar la matriz AA.
Para que nos sirven los autovectores en Machine Learning? Cual es la aplicación practica o la razon del por que deberiamos saber esto. Espero puedan responderme esta duda!
los autovalores y los autovectores son parámetros que permiten descomponer la matriz, que además te permitirán determinar que información dentro de ella tiene un peso mayor o menor importancia que se puede utilizar para el estudio del comportamiento de un fenómeno físico o inclusive reconstruir una imagen
Los vectores propios y valores propio se utilizan en el preprocesamiento de datos, antes de realizar un modelo de ML. Se utilizan para reducir la dimensionalidad, esto con la técnica de PCA (Primary Component Analysis)
Para aquellos aficionados a las matemáticos que gusten profundizar mas en el tema les dejo este blog, esta buenísimo
la fórmula es:
A v = λ v
donde A es una matriz cuadrada, ya sea 2x2, 3x3, 4x4, etc.
De esa misma matriz A, por medio de operaciones matemáticas, se puede obtener sus Valores Propios (λ) y sus Vectores propios (v).
primero se calculan los valores propios. (los valores propios son escalares, osea son números).
a partir de los valores propios y otras operaciones matemáticas es como se puede obtener los vectores propios.
Sin duda un tema para más estudio. En este video explican detalladamente los autovalores y autovectores
Buscar y resolver el polinomio característico es uno de los métodos fundamentales para obtener los valores propios y vectores propios de una transformación lineal representada por una matriz.
Alternativas Numéricas En aplicaciones prácticas (especialmente en ciencia de datos y machine learning), se utilizan métodos numéricos más eficientes para calcular valores y vectores propios, como: - Método de potencias: Para encontrar el valor propio dominante. - Algoritmo QR: Para descomponer la matriz y obtener todos los valores y vectores propios. - Bibliotecas como NumPy (numpy.linalg.eig) implementan estos métodos de manera optimizada.
Le pedí a ChatGPT que haga una metáfora con Caperucita Roja y los Autovalores y Autovectores. Esto salio:
El bosque como una matriz:
El bosque por el que Caperucita camina es como una matriz. Cada árbol y camino representan diferentes variables y relaciones en una transformación (la matriz). Sin embargo, no todas las direcciones en el bosque son iguales, algunas son más importantes que otras.
Caperucita como el autovector:
Caperucita Roja es como un autovector. Está caminando por una dirección específica en el bosque. El bosque, al estar lleno de caminos, la empuja y la tira en diferentes direcciones, pero ella sigue su propio camino, sin desviarse, porque está alineada con la dirección del bosque que la afecta de forma proporcional. En lugar de ser deformada o desviada, Caperucita simplemente avanza más rápido o más despacio, dependiendo de la fuerza del bosque (la transformación).
El lobo como el autovalor:
El lobo representa el autovalor. El lobo puede acelerar o ralentizar el paso de Caperucita dependiendo de su poder (el valor del autovalor). Si el lobo es grande (autovalor alto), empuja a Caperucita más rápido en la misma dirección. Si el lobo es pequeño (autovalor bajo), entonces el lobo ralentiza su paso. Si el lobo fuera cero, Caperucita se quedaría atrapada, sin poder avanzar (equivalente a un autovalor cero, donde la transformación es degenerada).
La moraleja matemática:
Así como Caperucita mantiene su dirección (como un autovector), los autovectores en una transformación permanecen en la misma dirección, aunque su "velocidad" o "fuerza" puede cambiar, dependiendo de los autovalores. Las direcciones importantes (autovectores) y sus respectivas fuerzas (autovalores) determinan cómo el bosque (la matriz) transforma todo lo que se mueve a través de él.
Los vectores propios son vectores cuya dirección no se modifica al aplicarle la transformación de una matriz, el sentido y magnitud si pude variar. El vector propio permanece en su propio subespacio generado.
El valor propio es el factor por el cual se estira o encoge el vector propio en la transformación, es el valor que transforma al vector propio.
Sea A ∈ R ^n×n, λ ∈ R es autovalor de A si y sólo si existe un vector v ∈ R^n×1 no nulo tal que:
A.v=λ.v,v≠0V
Sus características son:
Para obtener un vector y valor propio la matriz debe de ser cuadrada
Los autovalores forman a los vectores propios
Los vectores propios deben de ser base, es decir, a partir de estos se puede generar todo el espacio
Los vectores propios nos dicen las características más relevantes de cualquier conjunto de datos
En MAC, para llamar a la función creada -al igual que la hizo el profe-, se escribe lo siguiente:
%run "..//funciones_auxiliares/graficarVectores.ipynb"
IMPORTANCIA DE LOS AUTO VALORES Y AUTO VECTORES EN MACHINE LEARNING
En el contexto de machine learning, los autovalores y autovectores son conceptos importantes relacionados con la descomposición espectral de matrices. Esta descomposición puede ser útil en varias tareas de análisis y modelado. Aquí hay algunas aplicaciones comunes en las que los autovalores y autovectores se utilizan en machine learning:
Reducción de dimensionalidad: Los autovalores y autovectores pueden ser utilizados en técnicas de reducción de dimensionalidad, como la Análisis de Componentes Principales (PCA). En PCA, los autovectores representan las direcciones principales de variación en los datos, y los autovalores indican la cantidad de variación en cada dirección. Al seleccionar un subconjunto de autovectores con los autovalores más grandes, puedes reducir la dimensionalidad de tus datos manteniendo la mayor cantidad posible de información.
Transformaciones lineales: Los autovectores son útiles para entender transformaciones lineales en los datos. Por ejemplo, en el análisis de imágenes, los autovectores de una matriz de covarianza pueden representar direcciones específicas de variación en las imágenes, lo que podría ser útil para la identificación de características.
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales: Los autovalores y autovectores también pueden ser utilizados para resolver sistemas lineales de ecuaciones diferenciales, que son comunes en problemas de machine learning, especialmente en aprendizaje no supervisado y optimización.
Identificación de patrones latentes: En algunos casos, los autovectores pueden revelar patrones latentes o características fundamentales en los datos que no son fácilmente observables directamente.
Procesamiento de señales y reconocimiento de patrones: En aplicaciones de procesamiento de señales y reconocimiento de patrones, los autovalores y autovectores pueden ser utilizados para extraer características representativas o para realizar análisis espectral.
En resumen, los autovalores y autovectores proporcionan herramientas poderosas para analizar y transformar datos en el contexto de machine learning. Su aplicación depende del problema específico y del tipo de datos con el que estés trabajando.
Este docente explica bien que son los autovalores y auto vectores
