Cursos Empresas Blog Live Conf Eventos Precios

0:005:29

Recursos

Resumen

¿Qué es la descomposición en valores singulares?

La descomposición en valores singulares (SVD por sus siglas en inglés) es una herramienta matemática esencial, especialmente útil en el análisis de datos y procesamiento de imágenes. Cuando nos enfrentamos a una matriz que no es cuadrada, la SVD nos permite extraer y condensar información esencial. En esta técnica, una matriz se descompone en tres componentes: dos matrices ortogonales y una matriz diagonal.

¿Como se representa la descomposición?

Dentro de la descomposición en valores singulares, una matriz A se descompone en:

U: Una matriz ortogonal donde todos sus vectores son ortonormales. Contiene los vectores singulares izquierdos.
Σ: Una matriz diagonal que tiene en su diagonal los valores singulares de la matriz original, y fuera de la diagonal, ceros.
V^T: La transpuesta de una matriz ortogonal que alberga los vectores singulares derechos.

¿Cuál es la importancia de cada componente?

Vectores singulares (izquierdos y derechos): Son esenciales para comprender cómo se transforma la información en su representación simplificada. Los vectores singulares derechos (V) y los vectores singulares izquierdos (U) ofrecen un sistema de coordenadas para visualizar el efecto de la transformación.
Valores singulares: Estos están contenidos en la matriz diagonal Σ y determinan la influencia de los vectores singulares. Cuanto más grande es un valor singular, más impacto tiene el correspondiente vector singular en la reconstrucción de la matriz original.

¿Cómo se ejecuta la descomposición en Python?

La descomposición de matrices en valores singulares se puede realizar fácilmente en Python usando la biblioteca NumPy. Aquí se muestra un ejemplo de cómo llevarlo a cabo:

import numpy as np

# Definiendo la matriz A
A = np.array([[1, 2, 3], [3, 4, 5]])

# Calculando la descomposición en valores singulares
U, S, Vt = np.linalg.svd(A)

print("Matriz U:")
print(U)

print("Valores singulares:")
print(S)

print("Matriz V^T:")
print(Vt)

¿Qué nos muestra el resultado?

Matriz U: Muestra los vectores singulares izquierdos, cada columna es un vector.
Valores singulares en S: En su forma económica, muestra solo los valores singulares no nulos.
Matriz V^T: Contiene los vectores singulares derechos en sus filas.

Aplicaciones y recomendaciones para el uso de SVD

La descomposición en valores singulares es ampliamente utilizada en diferentes áreas, tales como:

Procesamiento de imagen: Para reducir el ruido y comprimir imágenes.
Análisis de datos: En reducción dimensional o en la recomendación de sistemas para identificar patrones significativos.

Leer más y experimentar

La SVD es un concepto fundamental para los científicos de datos e ingenieros que buscan optimizar recursos al trabajar con grandes conjuntos de datos. Se recomienda explorar distintas bibliotecas y entornos de programación que proporcionan funcionalidades avanzadas para operaciones con matrices, tales como TensorFlow o SciPy, para obtener una experiencia práctica profunda.

No se quede solo en la teoría; la práctica es clave. Experimente con matrices de diferentes tamaños y observe el comportamiento de la descomposición para entender cómo sus datos pueden ser manipulados y analizados de manera más eficiente.

¡Continue explorando el mundo de las matemáticas y el álgebra lineal para mejorar sus habilidades en ciencia de datos y programación!

Descomposición de Matrices en Valores Singulares

Curso de Álgebra Lineal Aplicada para Machine Learning

Clase 7 de 19

Clase 7 / 19

Mario Alexander Vargas Celis

Hace un año

La Descomposición en Valores Singulares (SVD, por sus siglas en inglés: Singular Value Decomposition) es una de las herramientas más poderosas y versátiles del álgebra lineal aplicada a datos, machine learning, compresión, procesamiento de imágenes, recomendadores, y más.

🔷 ¿Qué es la descomposición SVD?

Para cualquier matriz A∈Rm×nA \in \mathbb{R}^{m \times n}, se puede descomponer como:

A=UΣVTA = U \Sigma V^T

Donde:

U∈Rm×mU \in \mathbb{R}^{m \times m}: matriz ortogonal con vectores propios de AATA A^T
Σ∈Rm×n\Sigma \in \mathbb{R}^{m \times n}: matriz diagonal rectangular con los valores singulares de AA
VT∈Rn×nV^T \in \mathbb{R}^{n \times n}: transpuesta de matriz ortogonal con vectores propios de ATAA^T A

📌 ¿Para qué sirve?

Reducción de dimensiones (PCA usa SVD)
Compresión de imágenes
Eliminación de ruido
Sistemas de recomendación (Netflix, Amazon)
Resolver sistemas sobredeterminados o mal condicionados

🐍 Ejemplo en Python con NumPy

import numpy as np

# Matriz original (puede no ser cuadrada) A = np.array([[3, 1, 1], [-1, 3, 1]])

# Descomposición SVD U, S, VT = np.linalg.svd(A)

print("Matriz U:") print(U)

print("\nValores singulares (S):") print(S)

print("\nMatriz V transpuesta (V^T):") print(VT)

# Para reconstruir A: Sigma = np.zeros((U.shape[0], VT.shape[0])) np.fill_diagonal(Sigma, S)

A_reconstructed = U @ Sigma @ VT

print("\nMatriz A reconstruida:") print(A_reconstructed)

📊 ¿Qué representan los valores singulares?

Los elementos de Σ\Sigma (valores singulares) indican cuánta información (energía, varianza) está contenida en cada componente. Se ordenan de mayor a menor.

🎯 Reducción de Dimensión con SVD

Si solo usas los primeros kk valores singulares:

Ak=UkΣkVkTA_k = U_k \Sigma_k V_k^T

Esto da una aproximación de menor rango, ideal para:

Visualización
Compresión
Velocidad de cómputo

📌 Resumen

ComponenteSignificadoUUDirecciones principales de las filas (izquierda)Σ\SigmaImportancia relativa (energía) de cada direcciónVTV^TDirecciones principales de las columnas (derecha)

Comentarios (36)36 comentarios

Rodolfo Christian Catunta Uturunco

Hace 7 años

Juan Alonso Alcala

Me solucionaste la duda de inmediato . Gracias !!

Luis Angel José Portillo Arévalo

Hace 6 años

María José Medina

Pedro Alejandro Montaño Herrera

Lindo código! gracias.

Nicolas Mauricio Cuadrado Avila

Gran aporte, gracias!

Josue Noha Valdivia

Descomposición de una matriz en valores singulares La descomposición por autovectores sólo es aplicable a matrices cuadradas. El presente método permite descomponer cualquier matriz en tres matrices:

U → vectores izquierdos singulares
D → matriz diagonal de valores singulares
V → vectores derechos singulares

Estos valores se obtienen en python mediante el método:

U,D,V = np.linalg.svd(matriz)

Nota: Podemos ve a una matriz rectangular como una subtransformación del espacio, es decir podemos condensar información de tres a dos dimensiones.

Benjamín Guzmán

Hace 5 años

Para entender chido la matemática detrás comparto estos recursos que me ayudaron a mí.

Clase del MIT

Notas/resume de la clase del MIT

Interpretación 1

Interpretación 2

Alfonso Andres Zapata Guzman

Hace 4 años

Lista de reproducccion del curso del mit que indicas, youtube permite colocarle subtitulos.

https://www.youtube.com/playlist?list=PLE7DDD91010BC51F8

Sinceramente yo ya estaba iniciando en la lectura de un libro de introduccion al algebra, pero con esta formacion gratuita del mit, cambie de planes.

Julián Cárdenas

Hace 3 años

Gracias excelente aporte!!

Helí Fernando Jerez Rincón

Para calcular la matriz de vuelta esta es una solución genérica usando las propiedades de las matrices

m = np.array([[1,2 ,3], [3 ,4, 5]])
U, D, V = np.linalg.svd(m)
DMatrix = np.diag(D).dot(np.eye(len(U), len(V)))
U.dot(DMatrix).dot(V)

Wilson Fernando Antury Torres

**Descomposición en valores singulares: **Tendremos una matriz con los vectores derechos singulares, Una matriz con los vectores izquierdos singulares, éstas dos son matrices ortogonales.(todos los vectores son ortonormales.), Una matriz diagonal con los valores singulares.

U, D, V = np.linalg.svd(A, full_matrices=True)
print(U.shape)
print(D.shape)
print(V.shape)
(2, 2)
(2,)
(3, 3)
S = np.zeros((2, 3))
S[:2,:2] = np.diag(D)
print(S)
[[7.97638869 0.         0.        ]
 [0.         0.61418515 0.        ]]
A_calc = U.dot(S).dot(V)
print(A_calc)
[[1. 2. 3.]
 [3. 4. 5.]]

Luis Raúl González Romo

Encontré este documento y me ayudo a profundizar un poco más en el tema

Valores singulares. ¿Què son?.¿Para què sirven?

Gerardo González García

Hola, el siguiente código completa la matríz D para que el productos sea consistente:

import numpy as np

A = np.array( [ [ 1 , 2 , 3 ] ,
               [ 3 , 4 , 5 ] ] )

U , D , V = np.linalg.svd( A )

m =  U.shape[ 1 ]
n = V.shape[ 0 ]
k = min( m , n )

matriz_vacia = np.zeros( ( m , n ) )

for i in range( k ):
    matriz_vacia[ i , i ] = D[ i ]

Pueden comprobarlo haciendo el producto:

U @ matriz_vacia @ V

Rubén Cuello

Por alguna razón el profesor no realiza la demostración. Para los que no la pudieron hacer:

Convertir D en una matriz diagonal

D = np.diag(D)

Luego modificar su dimensión de 2x2 a 2x3 agregando una columna para que el producto esté definido en el siguiente paso

D = np.append(D,[[0],[0]],axis=1)

Simplemente realizar la multiplicación

calc_A = U.dot(D).dot(V)

Joseph Humberto Cueva

Alguien me puede explicar que hace esta linea de código?

U, D, V = np.linalg.svd(A)

Diego Alejandro Lesmes

El método single value decomposition ".svd" del modulo de algebra lineal ".linalg" de la librería numpy "np", arroja tres resulados relativos a la matriz "A", que son guardados en tres variables, respectivamente:

U → vectores izquierdos singulares D → matriz diagonal de valores singulares V → vectores derechos singulares

:green_heart:

Jhon Freddy Tavera Blandon

**La descomposición en valores singulares (SVD) también se puede aplicar a matrices no cuadradas. La descomposición SVD de una matriz rectangular M de tamaño m x n, donde m es el número de filas y n es el número de columnas, se puede realizar de la siguiente manera **

import numpy as np

# Definir una matriz no cuadrada
M = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6]])

# Calcular la descomposición SVD
U, S, V = np.linalg.svd(M)

# Imprimir las matrices U, S y V
print("Matriz U:")
print(U)
print("Matriz S:")
print(np.diag(S))
print("Matriz V:")
print(V)

La función np.linalg.svd() devuelve tres valores: U, S y V. La matriz U contiene los autovectores izquierdos, la matriz S es una matriz diagonal con los valores singulares en el orden descendente y la matriz V contiene los autovectores derechos.
Es importante tener en cuenta que en el caso de una matriz no cuadrada, la matriz S no será una matriz cuadrada, sino que tendrá dimensiones m x n, donde m es el número de filas de M y n es el número de columnas de M.

¿Alguien tiene algún recurso o puede explicar geométricamente que son los valores singulares?

Rafael Alejandro Santos Trujillo

En esta página hay un pdf muy bueno www.ehu.eus/izaballa/Cursos/valores_singulares.pdf

Diego Alejandro Muñoz Camayo

En este link encontré la información:

Lo pongo en código por que no me deja subirlo normal

Lino Barreiro

Por qué no carga esta clase? El svd es de lo que más quería aprender

Kevin Morales

Es raro, a mi me carga con el server C. Tal vez podrías probar con otro navegador.

Rodrigo Josue Goitia Quiroga

En algunas clases pasa eso. Usualmente cambiando de servidor funciona.

Matias Alexander Ibarra Trujillo

como es posible multiplicar una matriz 2x2 con una 3x3

Ricardo Moreno

Hola Matias, eso no se puede hacer..

Se podría multiplicar una matriz de 2x3 con una de 3x2, dando como resultado una matriz de 2x2 ó Se podría multiplicar una matriz de 3x2 con una de 2x3, dando como resultado una matriz de 3x3

pero no como la que mencionas porque sus dimeciones no son compatibles. Saludos!

Jorge Hernandez

Solo se pueden multiplicar matrices de igual tamaño Columna y fila

Hector F

¿Siempre es posible descomponer una matriz con este método?

Herman Castillo R

Al parecer sí, en la documentación que he revisado no existen restricciones para aplicar el método SVD

Santiago Ahumada Lozano

Recomiendo fuertemente seguir Esta serie de videos para comprender la descomposición en valores singulares.

rusbel bermúdez rivera

Dejo una imagen de mi notebook de esta clase:

Jonathan Fernando Santana Quispillo

Que son los vectores izquierdo y derechos?

Federico Mario

Recomiendo mucho la lectura de este libro para complementar la clase. En la página 119 estan las definiciones que pedís.

Yonatan Efraín Jara Boza

Los vectores singulares izquierdo y derecho de la matriz A por si los buscas.

Si los comparas con la descomposición de matrices cuadradas (clases anteriores) serian como los eigenvectors o vectores propios, salvo que en este caso A no es cuadrada y no se le puede hallar la determinante y por tanto A no tiene eigenvectors...

Esos vectores singulares izquierdo y derecho de la matriz A si son eigenvectors pero de A.T@A y A@A.T respectivamente.

PD. Al multiplicar una matriz por su adjunta el resultado siempre es una matriz no solo cuadrada por fin sino también simétrica, y al calcular su matriz de eigenvectors esta siempre será una mayriz ortogonal.

Recomiendo ir a la documentación en numpy.linalg.svd y a estos videos.

Recursos

Resumen

Descomposición de Matrices en Valores Singulares

Progreso del curso

Transformaciones lineales y descomposición de matrices

Aplicaciones de SVD a una imagen

Aplicando Álgebra Lineal: Análisis de Componentes Principales (PCA)