Pasos a seguir cuando se ejecuta firebase init
antes de ejecutar el comando firebase init asegúrate de estar trabajando en la carpeta del proyecto desde la consola o terminal de tu proyecto.
Ya que estés en la carpeta correcta en la terminal, procede a ejecutar el comando firebase init, deberá aparecer una pantalla como la siguiente, asegúrate de seleccionar las opciones de Database y Hosting
Posteriormente te preguntará la configuración sobre el proyecto con el que vas a vincular en el portal de Firebase, recuerda que este es el nombre del proyecto que le diste en Firebase, así que si tienes varios proyectos en el portal selecciona el correcto, en mi caso se llama prueba.
Después te pedirá el nombre del archivo para vincular la base de datos, ahí debes poner databases.rules.json como en la imagen
Luego te preguntará sobre el directorio público y el index, puedes seguir los pasos de imagen o crear tu propio directorio público pero recuerda que te generará copia del archivo index que deberás poner en dicho directorio, así que deberás acomodar las urls que hay en el index, para efectos del curso te recomiendo que dejes el directorio raíz como público.
por último deben aparecer estas líneas y tu inicialización estará completada.
Espero que te haya servido