Explicación matemática de la regresión lineal

¿Qué es la regresión lineal?

La regresión lineal es un concepto estadístico que se refiere a un modelo matemático utilizado para determinar la relación entre una variable dependiente y una o más variables independientes. Es fundamental en análisis predictivo y se utiliza para analizar datos y pronosticar tendencias futuras.

¿Cómo funciona la ecuación de la regresión lineal?

La ecuación básica de la regresión lineal se presenta como una relación matemática entre la variable dependiente (Y) y las variables independientes (X). La fórmula general se expresa de la siguiente manera:

[ Y = B_0 + B_1 \times X ]

• Y: representa la variable dependiente.
• X: es la variable independiente.
• B_0: es la constante o intercepto. Este es el punto donde la línea de regresión cruza el eje Y.
• B_1: es la pendiente de la línea de regresión, que indica la inclinación. Si la pendiente es positiva, la línea sube; si es negativa, baja.

Ejemplo práctico básico

Supongamos que queremos predecir el número de cursos finalizados en Platzi basándonos en las horas de estudio diarias. Considera estos datos:

• Una hora de estudio diario conlleva a completar 2 cursos al mes.
• Dos horas, 4 cursos.
• Tres horas, 6 cursos.
• Cuatro horas, 8 cursos.

A partir de nuestros valores de X (horas de estudio) y Y (cursos completados), inferimos el siguiente aspecto de la ecuación:

[ Y = 0 + 2 \times X ]

Aquí, B_0 es cero, ya que con cero horas no se completan cursos, y B_1 es dos, lo que sugiere que por cada hora adicional de estudio, completamos dos cursos más.

Pendiente positiva vs. negativa

La pendiente puede ser positiva o negativa:

• Pendiente positiva: Implica un aumento directo entre las variables. Por ejemplo, más horas de estudio resultan en más cursos completados.
• Pendiente negativa: Indica que al aumentar una variable, la otra disminuye. Si las horas dedicadas a plataformas no educativas aumentan, los cursos completados decrecen.

¿Cómo afectan las constantes y pendientes el modelo?

Constante (B_0)

La constante es el valor que se suma a la regresión completa. Representa el punto de partida de la predicción cuando X es cero. En el contexto de la regresión lineal, la constante puede ajustar verticalmente la línea de predicción.

Pendiente (B_1)

La pendiente refleja cómo cambia la variable dependiente con respecto a la variable independiente. Si analizamos patrones climáticos:

• Fecha (X): Independiente.
• Temperatura (Y): Dependiente.

La pendiente de la línea regresora proporciona información sobre cómo varía la temperatura con el tiempo.

Construyendo un modelo matemático

Para crear un modelo de regresión lineal, necesitamos determinar los mejores valores para B_0 y B_1 que minimicen el error entre nuestras predicciones y los datos observados. Esto implica procesos matemáticos detallados y algoritmos especializados como:

• Método de mínimos cuadrados: Minimiza el error cuadrático entre los valores observados y las valores previstos.

• Algoritmos de optimización: Algoritmos más avanzados que pueden ajustarse a modelos más complejos o grandes cantidades de datos.

Estos métodos serán necesarios para construir un modelo predictivo robusto, el cual aprenderemos a desarrollar progresivamente. Te animamos a seguir avanzando en la comprensión y aplicación de la regresión lineal para generar mejores análisis y predicciones.