Funciones de varias variables

1. Calcula la derivada de:

Solución:

Vemos que para derivar esta función lo podemos hacer parte por parte. Empezaremos por la primera parte vemos que la derivada de 1 es cero y que la derivada de t^2 es 2t.

En la segunda parte dado que ambos términos tienen t lo modelamos como una multiplicación de funciones, acá recurriremos a la regla de “la derivada de la primera por la segunda mas la derivada de la segunda por la primera".

Y en la ultima acudiremos a la función trigonométrica por la derivada interna.

2. Observa la siguiente ecuación:

a) Calcula la derivada parcial con respecto a x b) Calcula la derivada parcial con respecto a y

Solución:

• Para calcular la derivada parcial con respecto a x vamos a hacer de cuenta que “y” es una constante . el segundo término desaparecería porque la derivada de una constante es 0.

• Para calcular la derivada parcial con respecto a y vamos a hacer de cuenta que “x” es una constante . el primer término desaparecería porque la derivada de una constante es 0.

3. Sea el siguiente campo escalar:

¿Cuál es el gradiente?

Solución:

El gradiente del campo escalar es igual a un vector donde cada componente viene dado por el campo escalar, el campo escalar tiene 3 variables por lo tanto nuestro gradiente tendrá 3 componentes. Estas 3 componentes serán las derivadas parciales de cada componente.

4. Calcule la siguiente integral doble:

Cómo estamos integrando con respecto a x podemos asumir “y” como una constante para después evaluarla en los limites:

Una vez obtenido el resultado procedemos a encontrar nuestra segunda integral.

Nuevamente podemos sacar la constante.

Ya tenemos la solución de la integral pero ahora la evaluamos en los limites recordando que se hace la función evaluada en el límite superior menos mi función evaluada en el límite inferior.