En matemáticas la complejidad está dentro de la teoría de los sistemas dinámicos, un sistema dinámico es un sistema que simplemente evoluciona en el tiempo y un sistema complejo es un sistema dinámico muy sensible a cambios en las condiciones iniciales y que está compuesto de varias partes o módulos, en donde cada uno de esos módulos lleva a cabo una función específica.
Bueno, bueno, ¿ya está?, ¿eso es todo? Jejejeje, que no cunda el pánico, ahora daré un poco más de contexto para que se entienda mejor.
Si nos remontamos a fines del siglo XVII, después de que Isaac Newton propuso sus leyes de movimiento y gravitación universal, todo parecía predecible. Es decir, podríamos explicar los movimientos de todos los planetas, las lunas u objetos que caen o péndulos. Y hablando de péndulos, veamos el caso de un péndulo simple, para tener una representación significativa de los sistemas dinámicos:
Y realmente no importa cuáles sean las condiciones iniciales, sabemos si el péndulo no pierde energía, se balanceará hacia adelante y hacia atrás, de la misma manera cada vez.
Veamos la simulación un péndulo doble de Lagrange como representación significativa de los sistemas complejos:
Vaya que un pequeño cambio en la condiciones iniciales y su comportamiento es muy diferente.
Ahora remontémonos a los 60, cuando el meteorólogo Edward Lorenz intentó hacer una simulación computarizada básica de la atmósfera de la Tierra. El media cosas tales como la temperatura, la presión, la humedad, etc., y la computadora imprimía cada intervalo de tiempo, para ver cómo evolucionaban en el tiempo.
Pero, el gran avance se produjo cuando Lorenz quiso rehacer los cálculos y tomó un atajo, ingresó la mitad de los números de una impresión anterior y luego configuró el cálculo en la computadora. Lorenz se fue a tomar un café y cuando regresó y vio los resultados, quedó atónito. Los nuevos cálculos coincidían con los anteriores, por un corto tiempo, pero luego se desviaban y comenzaban a describir un estado totalmente diferente de la atmósfera. Es decir, un clima totalmente diferente.
La razón fue de la diferencia de la impresora que redondeó a tres decimales, mientras que la computadora calculó con seis.
Bueno, en realidad no hay nada de azar sobre estos sistemas, estos sistemas son deterministas como el péndulo simple. En el caso del péndulo doble de Lagrange, a pesar de ser complejo, si utilizamos las mismas condiciones iniciales podemos medir su posición exacta, con unas ecuaciones un un poquito más complicadas:
No hay que preocuparnos de las ecuaciones, el computo a las computadoras, mejor hay que enfocarnos en razonar el problema, y el punto es que se puede predecir con exactitud, nada más. Igual con sistema de Lorenz, solo que diferencia del péndulo doble, es imposible medir de manera exacta las condiciones iniciales para predecir el clima, porque en la práctica, nunca podríamos conocer las condiciones iniciales con una precisión perfecta, y estoy hablando de infinitos decimales.
Entonces, ya comprendemos lo que es un sistema dinámico y uno complejo 😁. Recordemos que complejo no es sinónimo de difícil, si no que su comportamiento es muy sensible a las condiciones iniciales y que se compone de muchos módulos que funcionan en conjunto, no por si solos.
Ahora, ¿esto de que nos sirve?
Daré 2 ejemplos prácticos, muy concretos para Ciencias de Datos e IA:
Redes neuronales artificiales: Esencialmente, desde un punto de vista dinámico una neurona recibe señales, se estimula y se activa. Es muy simple como funciona una neurona, pero conocer cómo funciona 1 sola neurona no nos permite saber cómo funciona un cerebro, porque, ¿qué pasa si podemos 10^12 neuronas juntas? Bueno, podría pasar algo como esto:
Entonces, hay un cambio cualitativo y cuantitativo entre 1 neurona y el perro que está jugando a traer la pelota. Y vaya, hasta donde sabemos el cerebro es el único sistema complejo que se manda señales a sí mismo y responde a esas mismas señales.
Mercados financieros: Los mercados se ajustan sin que un líder omnipresente este dictando, cuánto va a valer un coche, la fruta, un teléfono inteligente, etc., es la ley de la oferta y la demanda, ¿Quién determina el precio de las cosas? Pues es el mercado, la dinámica financiera. En economía las cosas valen lo que la gente este dispuesta a pagar por ellas, por ello, la complejidad radica en que hay muchos factores a considerar para dar un precio final.
Y bueno, ya que sabemos lo interesante y fácil que es este mundo de las mates, en particular los sistemas dinámicos. Así que, ¡manos a la obra!, ¡vamos a con todo a la Math Academy de Platzi!, jejeje, espero vernos ahí 😉
Taller de Aplicación de Modelos Numéricos
