Derivadas de Funciones Logarítmicas: Reglas y Ejemplos Prácticos

Contenido del curso

Introducción

Límites

La derivada

Derivadas de funciones algebraicas

Derivadas de funciones trascendentes

Regla de cadena

Bonus

24
Maximización de Volumen de Cajas Usando Cálculo y Wolfram Alpha
13:33 min

Conclusión

25
Aplicaciones del Cálculo Diferencial en la Vida Real
03:55 min

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Derivadas de Funciones Logarítmicas: Reglas y Ejemplos Prácticos

Curso Básico de Cálculo Diferencial

Clase 21 de 25

Clase 21 / 25

Recursos

Comprender cómo derivar funciones logarítmicas es fundamental en el cálculo diferencial. Estas funciones, aportación histórica de John Napier a las matemáticas, son las funciones inversas de las funciones exponenciales y aparecen constantemente en problemas de ingeniería, ciencias y economía. Aquí se explican las dos reglas esenciales y se resuelven ejercicios paso a paso para dominar el tema.

¿Cuáles son las reglas para derivar logaritmos generales y naturales?

Existen dos reglas principales que se aplican según el tipo de logaritmo.

Logaritmo general (base a): la derivada de log base a de x es 1 dividido entre x multiplicado por el logaritmo natural de a. Es decir, d/dx [log_a(x)] = 1 / (x · ln(a)). [0:36]
Logaritmo natural (base e): la derivada de ln(x) es simplemente 1/x. [1:00]

¿Por qué la regla del logaritmo natural es más sencilla? Porque el logaritmo natural de e es igual a 1 [1:10]. Al sustituir ln(e) = 1 en la fórmula general, el denominador se reduce. En esencia, ambas reglas son la misma; la del logaritmo natural solo elimina un factor que vale uno.

¿Cómo se resuelven ejercicios de derivadas logarítmicas?

Derivada de log base 5 de x

Se aplica directamente la regla del logaritmo general [1:30]:

f'(x) = 1 / (x · ln(5))

La base 5 se convierte en ln(5) en el denominador y el argumento x aparece multiplicando.

Derivada de ln(x) / x usando la regla del cociente

Este ejercicio combina la regla del logaritmo natural con la regla del cociente [1:50]. Un error frecuente es intentar cancelar la x del denominador con la x que aparece dentro de ln(x). Sin embargo, esa x es el argumento de la función logarítmica y es indivisible; no actúa como factor independiente [2:10].

Aplicando la regla del cociente:

f'(x) = [(1/x) · x − ln(x) · 1] / x²

El término (1/x) · x se simplifica porque son recíprocos, dando como resultado 1. Entonces:

f'(x) = [1 − ln(x)] / x²

Derivada de x² · log(x) usando la regla del producto

Cuando se escribe "log" sin indicar base, se asume que es logaritmo base 10 [3:08]. Se aplica la regla de la multiplicación (regla del producto):

f'(x) = 2x · log(x) + x² · [1 / (x · ln(10))]

Es posible factorizar una x para simplificar, aunque la diferencia algebraica es mínima [3:40]. La clave está en reconocer que la derivada de log₁₀(x) introduce el factor ln(10) en el denominador.

Derivada de log base 3 de 6: una constante

Si piensas que la respuesta es 1 / (6 · ln(3)), cometes un error común [3:55]. En esta expresión no hay ninguna variable. El valor log₃(6) es un número constante que puedes calcular en cualquier calculadora. La derivada de una constante siempre es cero [4:10]:

f'(x) = 0

Este ejemplo refuerza un principio esencial: si no existe variable presente en la expresión, se trata de un número fijo y su tasa de cambio es nula.

¿Qué errores frecuentes hay que evitar al derivar logaritmos?

Cancelar el argumento del logaritmo con otros factores: ln(x) / x no se simplifica eliminando x.
Olvidar ln(base) en el denominador al derivar logaritmos con base distinta de e.
Derivar constantes como si fueran funciones: sin variable, la derivada es cero.
Confundir log sin base con logaritmo natural: log sin base indicada equivale a log₁₀.

Dominar estas reglas abre la puerta a problemas más complejos donde los logaritmos se combinan con otras funciones. Si tienes dudas sobre alguno de los ejercicios, comparte tu proceso en los comentarios para revisarlo juntos.

Resumen

¿Cuáles son las reglas para derivar logaritmos generales y naturales?

Existen dos reglas principales que se aplican según el tipo de logaritmo.

Logaritmo general (base a): la derivada de log base a de x es 1 dividido entre x multiplicado por el logaritmo natural de a. Es decir, d/dx [log_a(x)] = 1 / (x · ln(a)). [0:36]
Logaritmo natural (base e): la derivada de ln(x) es simplemente 1/x. [1:00]

¿Cómo se resuelven ejercicios de derivadas logarítmicas?

Derivada de log base 5 de x

Se aplica directamente la regla del logaritmo general [1:30]:

f'(x) = 1 / (x · ln(5))

La base 5 se convierte en ln(5) en el denominador y el argumento x aparece multiplicando.

Derivada de ln(x) / x usando la regla del cociente

Aplicando la regla del cociente:

f'(x) = [(1/x) · x − ln(x) · 1] / x²

El término (1/x) · x se simplifica porque son recíprocos, dando como resultado 1. Entonces:

f'(x) = [1 − ln(x)] / x²

Derivada de x² · log(x) usando la regla del producto

Cuando se escribe "log" sin indicar base, se asume que es logaritmo base 10 [3:08]. Se aplica la regla de la multiplicación (regla del producto):

f'(x) = 2x · log(x) + x² · [1 / (x · ln(10))]

Derivada de log base 3 de 6: una constante

f'(x) = 0

Este ejemplo refuerza un principio esencial: si no existe variable presente en la expresión, se trata de un número fijo y su tasa de cambio es nula.

¿Qué errores frecuentes hay que evitar al derivar logaritmos?

Cancelar el argumento del logaritmo con otros factores: ln(x) / x no se simplifica eliminando x.
Olvidar ln(base) en el denominador al derivar logaritmos con base distinta de e.
Derivar constantes como si fueran funciones: sin variable, la derivada es cero.
Confundir log sin base con logaritmo natural: log sin base indicada equivale a log₁₀.

Introducción

Cálculo Diferencial: Conceptos Básicos y Aplicaciones Prácticas

Funciones Matemáticas: Dominio, Rango y Tipos de Funciones

Tipos de funciones

Dominio y rango de funciones a partir de gráficos

Límites

Concepto y Aplicación de Límites en Cálculo Matemático

Determinación de Límites Usando Gráficos

Tipos de límites en cálculo: generales, unilaterales e infinitos

Límites Algebraicos: Evaluación y Simplificación Paso a Paso

Análisis de Continuidad de Funciones en un Punto

La derivada

Visualización de la Derivada: Análisis Gráfico y Cálculo de Pendientes

Definición matemática de la derivada y sus notaciones

Cálculo de Derivadas usando la Definición Formal

Análisis de Derivadas: Relación con Función y Concavidad

Derivadas de funciones algebraicas

Derivadas de Funciones Constantes y con Múltiplos Constantes

Regla de la Potencia en Derivadas: Concepto y Aplicaciones

Derivación: Regla de Suma y Resta de Funciones

Derivada del Producto de Funciones: Regla y Ejemplos Prácticos

Derivación de Cocientes de Funciones: Regla del Cociente

Derivadas de funciones trascendentes

Derivadas de Funciones Trigonométricas Básicas

Derivadas de Funciones Exponenciales y Trigonométricas

Derivadas de Funciones Logarítmicas: Reglas y Ejemplos Prácticos

Regla de cadena

Funciones Compuestas: Evaluación y Ejemplos Prácticos

Derivadas de Funciones Compuestas: Regla de la Cadena

Bonus

Maximización de Volumen de Cajas Usando Cálculo y Wolfram Alpha

Conclusión

Aplicaciones del Cálculo Diferencial en la Vida Real

Derivadas de Funciones Logarítmicas: Reglas y Ejemplos Prácticos