Comprender cómo derivar funciones logarítmicas es fundamental en el cálculo diferencial. Estas funciones, aportación histórica de John Napier a las matemáticas, son las funciones inversas de las funciones exponenciales y aparecen constantemente en problemas de ingeniería, ciencias y economía. Aquí se explican las dos reglas esenciales y se resuelven ejercicios paso a paso para dominar el tema.
¿Cuáles son las reglas para derivar logaritmos generales y naturales?
Existen dos reglas principales que se aplican según el tipo de logaritmo.
- Logaritmo general (base a): la derivada de log base a de x es 1 dividido entre x multiplicado por el logaritmo natural de a. Es decir, d/dx [log_a(x)] = 1 / (x · ln(a)). [0:36]
- Logaritmo natural (base e): la derivada de ln(x) es simplemente 1/x. [1:00]
¿Por qué la regla del logaritmo natural es más sencilla? Porque el logaritmo natural de e es igual a 1 [1:10]. Al sustituir ln(e) = 1 en la fórmula general, el denominador se reduce. En esencia, ambas reglas son la misma; la del logaritmo natural solo elimina un factor que vale uno.
¿Cómo se resuelven ejercicios de derivadas logarítmicas?
Derivada de log base 5 de x
Se aplica directamente la regla del logaritmo general [1:30]:
f'(x) = 1 / (x · ln(5))
La base 5 se convierte en ln(5) en el denominador y el argumento x aparece multiplicando.
Derivada de ln(x) / x usando la regla del cociente
Este ejercicio combina la regla del logaritmo natural con la regla del cociente [1:50]. Un error frecuente es intentar cancelar la x del denominador con la x que aparece dentro de ln(x). Sin embargo, esa x es el argumento de la función logarítmica y es indivisible; no actúa como factor independiente [2:10].
Aplicando la regla del cociente:
f'(x) = [(1/x) · x − ln(x) · 1] / x²
El término (1/x) · x se simplifica porque son recíprocos, dando como resultado 1. Entonces:
f'(x) = [1 − ln(x)] / x²
Derivada de x² · log(x) usando la regla del producto
Cuando se escribe "log" sin indicar base, se asume que es logaritmo base 10 [3:08]. Se aplica la regla de la multiplicación (regla del producto):
f'(x) = 2x · log(x) + x² · [1 / (x · ln(10))]
Es posible factorizar una x para simplificar, aunque la diferencia algebraica es mínima [3:40]. La clave está en reconocer que la derivada de log₁₀(x) introduce el factor ln(10) en el denominador.
Derivada de log base 3 de 6: una constante
Si piensas que la respuesta es 1 / (6 · ln(3)), cometes un error común [3:55]. En esta expresión no hay ninguna variable. El valor log₃(6) es un número constante que puedes calcular en cualquier calculadora. La derivada de una constante siempre es cero [4:10]:
f'(x) = 0
Este ejemplo refuerza un principio esencial: si no existe variable presente en la expresión, se trata de un número fijo y su tasa de cambio es nula.
¿Qué errores frecuentes hay que evitar al derivar logaritmos?
- Cancelar el argumento del logaritmo con otros factores: ln(x) / x no se simplifica eliminando x.
- Olvidar ln(base) en el denominador al derivar logaritmos con base distinta de e.
- Derivar constantes como si fueran funciones: sin variable, la derivada es cero.
- Confundir log sin base con logaritmo natural: log sin base indicada equivale a log₁₀.
Dominar estas reglas abre la puerta a problemas más complejos donde los logaritmos se combinan con otras funciones. Si tienes dudas sobre alguno de los ejercicios, comparte tu proceso en los comentarios para revisarlo juntos.
