Cálculo de Derivadas usando la Definición Formal

¿Cómo utilizar la derivada para obtener derivadas de funciones?

Aprender a calcular derivadas utilizando su definición es uno de los pilares del cálculo diferencial. Este método se basa en procedimientos algebraicos que nos permiten obtener derivadas de manera directa y precisa. Veremos varios ejemplos para ilustrar este proceso, empezando por funciones cuadráticas, luego con funciones raíz cuadrada y, finalmente, funciones de proporcionalidad inversa. Te sugiero prestar atención a cada paso y practicar para poder replicar estos procesos por tu cuenta.

¿Cómo calcular la derivada de una función cuadrática?

Consideremos la función cuadrática ( f(x) = x^2 + 1 ), una parábola desplazada una unidad arriba del origen. Para encontrar la derivada:

1. Evaluación de ( f(x + h) ): La función evaluada será ( (x + h)^2 + 1 ).

2. Aplicación de la definición de derivada: [ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} ]

3. Proceso algebraico:

   • Desarrolla el cuadrado: ( (x + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2 ).
   • Sustituye en la definición: [ \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 + 1 - (x^2 + 1)}{h} ]
   • Cancela términos iguales: ((x^2 + 1)).
   • Simplifica: [ \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2x + h) ] Al evaluar ( h = 0 ), obtienes ( f'(x) = 2x ).

¿Cómo calcular la derivada de una función raíz cuadrada?

Ahora calculemos la derivada de ( f(x) = \sqrt{x} ):

1. Evaluación de ( f(x + h) ): (\sqrt{x + h}).

2. Definición de derivada: [ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h} ]

3. Proceso algebraico:

   • Multiplica por el conjugado: [ \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{x + h} - \sqrt{x})(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})}{h(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})} ]
   • Obtendrás una diferencia de cuadrados: [ \lim_{h \to 0} \frac{x + h - x}{h(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})} ]
   • Cancela ( h ): [ \frac{1}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}} \rightarrow \frac{1}{2\sqrt{x}} ] Al evaluarse en ( h = 0 ).

¿Cómo calcular la derivada de una función de proporcionalidad inversa?

Veamos la función inversa ( f(x) = \frac{1}{x} ):

1. Evaluación de f(x + h): (\frac{1}{x + h}).

2. Definición de derivada: [ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}}{h} ]

3. Proceso algebraico:

   • Simplifica el numerador: [ \frac{x - (x + h)}{x(x + h)} = \frac{-h}{x(x + h)} ]
   • Procede con el límite: [ \lim_{h \to 0} \frac{-h}{hx(x + h)} ]
   • Cancela ( h ): [ -\frac{1}{x^2} ]

Practica estos métodos hasta dominarlos por completo. La aplicación consistente de la definición de derivada fortalecerá tu habilidad en el cálculo y te preparará para problemas más complejos. Si tienes dificultades, consulta los materiales de apoyo disponibles. ¡Buena suerte y sigue aprendiendo!