¿Cómo utilizar la derivada para obtener derivadas de funciones?
Aprender a calcular derivadas utilizando su definición es uno de los pilares del cálculo diferencial. Este método se basa en procedimientos algebraicos que nos permiten obtener derivadas de manera directa y precisa. Veremos varios ejemplos para ilustrar este proceso, empezando por funciones cuadráticas, luego con funciones raíz cuadrada y, finalmente, funciones de proporcionalidad inversa. Te sugiero prestar atención a cada paso y practicar para poder replicar estos procesos por tu cuenta.
¿Cómo calcular la derivada de una función cuadrática?
Consideremos la función cuadrática ( f(x) = x^2 + 1 ), una parábola desplazada una unidad arriba del origen. Para encontrar la derivada:
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Evaluación de ( f(x + h) ):
La función evaluada será ( (x + h)^2 + 1 ).
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Aplicación de la definición de derivada:
[
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}
]
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Proceso algebraico:
- Desarrolla el cuadrado: ( (x + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2 ).
- Sustituye en la definición:
[
\lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 + 1 - (x^2 + 1)}{h}
]
- Cancela términos iguales: ((x^2 + 1)).
- Simplifica:
[
\lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2x + h)
]
Al evaluar ( h = 0 ), obtienes ( f'(x) = 2x ).
¿Cómo calcular la derivada de una función raíz cuadrada?
Ahora calculemos la derivada de ( f(x) = \sqrt{x} ):
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Evaluación de ( f(x + h) ):
(\sqrt{x + h}).
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Definición de derivada:
[
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h}
]
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Proceso algebraico:
- Multiplica por el conjugado:
[
\lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{x + h} - \sqrt{x})(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})}{h(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})}
]
- Obtendrás una diferencia de cuadrados:
[
\lim_{h \to 0} \frac{x + h - x}{h(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})}
]
- Cancela ( h ):
[
\frac{1}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}} \rightarrow \frac{1}{2\sqrt{x}}
]
Al evaluarse en ( h = 0 ).
¿Cómo calcular la derivada de una función de proporcionalidad inversa?
Veamos la función inversa ( f(x) = \frac{1}{x} ):
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Evaluación de f(x + h):
(\frac{1}{x + h}).
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Definición de derivada:
[
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}}{h}
]
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Proceso algebraico:
- Simplifica el numerador:
[
\frac{x - (x + h)}{x(x + h)} = \frac{-h}{x(x + h)}
]
- Procede con el límite:
[
\lim_{h \to 0} \frac{-h}{hx(x + h)}
]
- Cancela ( h ):
[
-\frac{1}{x^2}
]
Practica estos métodos hasta dominarlos por completo. La aplicación consistente de la definición de derivada fortalecerá tu habilidad en el cálculo y te preparará para problemas más complejos. Si tienes dificultades, consulta los materiales de apoyo disponibles. ¡Buena suerte y sigue aprendiendo!
