Cálculo de Derivadas usando la Definición Formal

Contenido del curso

Introducción

Límites

La derivada

Derivadas de funciones algebraicas

Derivadas de funciones trascendentes

Regla de cadena

Bonus

24
Maximización de Volumen de Cajas Usando Cálculo y Wolfram Alpha
13:33 min

Conclusión

25
Aplicaciones del Cálculo Diferencial en la Vida Real
03:55 min

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Cálculo de Derivadas usando la Definición Formal

Curso Básico de Cálculo Diferencial

Clase 12 de 25

Clase 12 / 25

Recursos

¿Cómo utilizar la derivada para obtener derivadas de funciones?

Aprender a calcular derivadas utilizando su definición es uno de los pilares del cálculo diferencial. Este método se basa en procedimientos algebraicos que nos permiten obtener derivadas de manera directa y precisa. Veremos varios ejemplos para ilustrar este proceso, empezando por funciones cuadráticas, luego con funciones raíz cuadrada y, finalmente, funciones de proporcionalidad inversa. Te sugiero prestar atención a cada paso y practicar para poder replicar estos procesos por tu cuenta.

¿Cómo calcular la derivada de una función cuadrática?

Consideremos la función cuadrática ( f(x) = x^2 + 1 ), una parábola desplazada una unidad arriba del origen. Para encontrar la derivada:

Evaluación de ( f(x + h) ): La función evaluada será ( (x + h)^2 + 1 ).
Aplicación de la definición de derivada: [ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} ]
Proceso algebraico:
- Desarrolla el cuadrado: ( (x + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2 ).
- Sustituye en la definición: [ \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 + 1 - (x^2 + 1)}{h} ]
- Cancela términos iguales: ((x^2 + 1)).
- Simplifica: [ \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2x + h) ] Al evaluar ( h = 0 ), obtienes ( f'(x) = 2x ).

¿Cómo calcular la derivada de una función raíz cuadrada?

Ahora calculemos la derivada de ( f(x) = \sqrt{x} ):

Evaluación de ( f(x + h) ): (\sqrt{x + h}).
Definición de derivada: [ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h} ]
Proceso algebraico:
- Multiplica por el conjugado: [ \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{x + h} - \sqrt{x})(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})}{h(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})} ]
- Obtendrás una diferencia de cuadrados: [ \lim_{h \to 0} \frac{x + h - x}{h(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})} ]
- Cancela ( h ): [ \frac{1}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}} \rightarrow \frac{1}{2\sqrt{x}} ] Al evaluarse en ( h = 0 ).

¿Cómo calcular la derivada de una función de proporcionalidad inversa?

Veamos la función inversa ( f(x) = \frac{1}{x} ):

Evaluación de f(x + h): (\frac{1}{x + h}).
Definición de derivada: [ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}}{h} ]
Proceso algebraico:
- Simplifica el numerador: [ \frac{x - (x + h)}{x(x + h)} = \frac{-h}{x(x + h)} ]
- Procede con el límite: [ \lim_{h \to 0} \frac{-h}{hx(x + h)} ]
- Cancela ( h ): [ -\frac{1}{x^2} ]

Practica estos métodos hasta dominarlos por completo. La aplicación consistente de la definición de derivada fortalecerá tu habilidad en el cálculo y te preparará para problemas más complejos. Si tienes dificultades, consulta los materiales de apoyo disponibles. ¡Buena suerte y sigue aprendiendo!

Resumen

¿Cómo utilizar la derivada para obtener derivadas de funciones?

¿Cómo calcular la derivada de una función cuadrática?

Consideremos la función cuadrática ( f(x) = x^2 + 1 ), una parábola desplazada una unidad arriba del origen. Para encontrar la derivada:

Evaluación de ( f(x + h) ): La función evaluada será ( (x + h)^2 + 1 ).
Aplicación de la definición de derivada: [ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} ]
Proceso algebraico:
- Desarrolla el cuadrado: ( (x + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2 ).
- Sustituye en la definición: [ \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 + 1 - (x^2 + 1)}{h} ]
- Cancela términos iguales: ((x^2 + 1)).
- Simplifica: [ \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2x + h) ] Al evaluar ( h = 0 ), obtienes ( f'(x) = 2x ).

¿Cómo calcular la derivada de una función raíz cuadrada?

Ahora calculemos la derivada de ( f(x) = \sqrt{x} ):

Evaluación de ( f(x + h) ): (\sqrt{x + h}).
Definición de derivada: [ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h} ]
Proceso algebraico:
- Multiplica por el conjugado: [ \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{x + h} - \sqrt{x})(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})}{h(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})} ]
- Obtendrás una diferencia de cuadrados: [ \lim_{h \to 0} \frac{x + h - x}{h(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})} ]
- Cancela ( h ): [ \frac{1}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}} \rightarrow \frac{1}{2\sqrt{x}} ] Al evaluarse en ( h = 0 ).

¿Cómo calcular la derivada de una función de proporcionalidad inversa?

Veamos la función inversa ( f(x) = \frac{1}{x} ):

Evaluación de f(x + h): (\frac{1}{x + h}).
Definición de derivada: [ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}}{h} ]
Proceso algebraico:
- Simplifica el numerador: [ \frac{x - (x + h)}{x(x + h)} = \frac{-h}{x(x + h)} ]
- Procede con el límite: [ \lim_{h \to 0} \frac{-h}{hx(x + h)} ]
- Cancela ( h ): [ -\frac{1}{x^2} ]

Introducción

Cálculo Diferencial: Conceptos Básicos y Aplicaciones Prácticas

Funciones Matemáticas: Dominio, Rango y Tipos de Funciones

Tipos de funciones

Dominio y rango de funciones a partir de gráficos

Límites

Concepto y Aplicación de Límites en Cálculo Matemático

Determinación de Límites Usando Gráficos

Tipos de límites en cálculo: generales, unilaterales e infinitos

Límites Algebraicos: Evaluación y Simplificación Paso a Paso

Análisis de Continuidad de Funciones en un Punto

La derivada

Visualización de la Derivada: Análisis Gráfico y Cálculo de Pendientes

Definición matemática de la derivada y sus notaciones

Cálculo de Derivadas usando la Definición Formal

Análisis de Derivadas: Relación con Función y Concavidad

Derivadas de funciones algebraicas

Derivadas de Funciones Constantes y con Múltiplos Constantes

Regla de la Potencia en Derivadas: Concepto y Aplicaciones

Derivación: Regla de Suma y Resta de Funciones

Derivada del Producto de Funciones: Regla y Ejemplos Prácticos

Derivación de Cocientes de Funciones: Regla del Cociente

Derivadas de funciones trascendentes

Derivadas de Funciones Trigonométricas Básicas

Derivadas de Funciones Exponenciales y Trigonométricas

Derivadas de Funciones Logarítmicas: Reglas y Ejemplos Prácticos

Regla de cadena

Funciones Compuestas: Evaluación y Ejemplos Prácticos

Derivadas de Funciones Compuestas: Regla de la Cadena

Bonus

Maximización de Volumen de Cajas Usando Cálculo y Wolfram Alpha

Conclusión

Aplicaciones del Cálculo Diferencial en la Vida Real

Cálculo de Derivadas usando la Definición Formal