Modelos SIR y el Número Básico de Reproducción (R₀)

Ahora que hemos discutido y solucionado un modelo SIR:

Estamos listos para:

1. Dar unos comentarios adicionales para identificar en qué momento una epidemia puede alcanzar su pico de contagios y decaer a partir de entonces.
2. Dar el paso siguiente a un modelo que considera un compartimiento adicional que corresponderá a los individuos que fallecen por causa de la epidemia.

Número básico de reproducción

Matemáticamente hablando, para garantizar que en algún momento el número de contagios empiece a reducirse debe cumplirse que la tasa de crecimiento de I sea negativa, es decir:

Y esto sucederá cuando tengamos que el otro lado de la ecuación [2] también cumpla esa condición:

Como el número de infectados nunca puede ser negativo, esto se reduce a decir que βS - μ < 0. Aquí vemos un inconveniente con esta desigualdad y es que los parámetros de nuestro modelo deben tener unidades de [1/tiempo] pues reflejan una tasa de propagación. Es decir, puestas así se interpretan como el inverso del tiempo que demora en aparecer o desaparecer un nuevo infectado.

Para ver porqué esto es un inconveniente, haremos un análisis dimensional sobre la ecuación [2], el propósito de esto es garantizar que todos los factores de una igualdad matemática tengan las mismas unidades, o dicho de forma simple, que uno esté restando o sumando naranjas con naranjas, ya que no tiene sentido comparar objetos diferentes. Esto sería como decir tengo 3 naranjas y me como 2 piñas, entonces me queda ahora solo 1 manzana:

Para garantizar que todos los términos de mi ecuación son naranjas veo que debe cumplirse que:

Y vemos que μ si tiene las unidades adecuadas, pero β no, por esto es común que en epidemiología se normalice el término β (S - I) por β (S/N - I) de manera que, ahora que dividimos S por la población total, esto queda en un número que llamamos adimensional, pues ahí estamos dividiendo individuos/individuos y se cancelan las unidades. El resultado es que esto cambia el valor de nuestro parámetro β por un factor constante, y esto se puede hacer sin perder generalidad en el modelo. Así, el sistema ahora queda:

Y de esto ya tenemos que ambos parámetros tienen las mismas unidades, pero ahora la condición para garantizar reducción en el número de infectados cambia de βS - μ < 0 a:

O mejor:

Donde hemos definido R₀ = β / μ y esta cantidad se llama el número básico de reproducción. Este número se interpreta como el número promedio de personas que infecta un individuo infectado, por cada unidad de tiempo. Entonces:

1. Si R₀ < 1, la desigualdad [7] nos dice que es imposible que el virus se propague. Por ejemplo, si N=100 y R₀ = 0.8, entonces S <125, lo cual sucede desde el principio porque asumimos que el número de susceptibles es igual a N desde el inicio y eso implica que la curva no podrá crecer nunca.
2. Si R₀ > 1, la desigualdad [7] nos dice que el virus se puede propagar pero eventualmente podrá empezar a decaer. Por ejemplo, si N = 100 y R₀ = 2, entonces S < 50, lo cual quiere decir que la curva de infectados habrá alcanzado su máximo cuando la mitad de la población haya sido infectada.

Reto: Modifica el notebook de la clase pasada para que en la clase SIR_model() consideremos las nuevas ecuaciones [4], [5] y [6]. Luego, haz dos simulaciones: una con R₀ < 1 y otra con R₀ > 1. Observa y analiza el resultado de cada simulación, publica tus resultados en la sección de comentarios. ¿Coincide el resultado con lo discutido previamente en esta clase?